题目内容
某恒星远处有一颗行星，靠近行星周围有众多的卫星，且相对均匀地分布于行星周围．假设卫星绕行星的运动是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离该行星最近的一颗卫星运动的轨道半径为R1T，周期为T1．已知万有引力常量为G．
（1）求该行星的质量；
（2）通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其运动的轨道半径为R2，周期为T2，试估算该行星周围众多卫星的总质量．
（3）通过天文观测发现，某一时刻行星跟距离自己最近的卫星以及距离自己很远的卫星正好分布在一条直线上，求再经过多长时间它们又将分布在一条直线上．
（1）求该行星的质量；
（2）通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其运动的轨道半径为R2，周期为T2，试估算该行星周围众多卫星的总质量．
（3）通过天文观测发现，某一时刻行星跟距离自己最近的卫星以及距离自己很远的卫星正好分布在一条直线上，求再经过多长时间它们又将分布在一条直线上．
分析：（1）万有引力做为向心力，明确告诉了行星的周期，所以向心力的公式要考虑用含有周期的公式．
（2）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力求出总质量，则靠近行星周围众多卫星的总质量等于刚才求的总质量减去行星质量．
（3）若要再次让两颗卫星在一条直线上，则应该在相同时间内，两颗卫星经过的周期之差应该是整数．
（2）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力求出总质量，则靠近行星周围众多卫星的总质量等于刚才求的总质量减去行星质量．
（3）若要再次让两颗卫星在一条直线上，则应该在相同时间内，两颗卫星经过的周期之差应该是整数．
解答：解：（1）根据万有引力提供向心力得：
G
=m1R1
，
解得：
M=
．
（2）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力得：
G
=m2R2
，
解得：
M′=
．
故该行星周围众多卫星的总质量为：
M总=M′-M=
-
（3）若要再次让两颗卫星在一条直线上，则应该在相同时间内，两颗卫星经过的周期之差应该是整数，即：
(
-
)t=nπ （n=1、2、3…），
解得：
t=
（n=1、2、3…）．
答：
（1）该行星的质量为M=
．
（2）该行星周围众多卫星的总质量为
-
．
（3）再经过t=
（n=1、2、3…）时间它们又将分布在一条直线上．
G
| Mm1 |
| R12 |
| 4π2 |
| T12 |
解得：
M=
| 4π2R13 |
| GT12 |
（2）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力得：
G
| M′m2 |
| R22 |
| 4π2 |
| T22 |
解得：
M′=
| 4π2R23 |
| GT22 |
故该行星周围众多卫星的总质量为：
M总=M′-M=
| 4π2R23 |
| GT22 |
| 4π2R13 |
| GT12 |
（3）若要再次让两颗卫星在一条直线上，则应该在相同时间内，两颗卫星经过的周期之差应该是整数，即：
(
| 2π |
| T1 |
| 2π |
| T2 |
解得：
t=
| nT1T2 |
| 2(T2-T1) |
答：
（1）该行星的质量为M=
| 4π2R13 |
| GT12 |
（2）该行星周围众多卫星的总质量为
| 4π2R23 |
| GT22 |
| 4π2R13 |
| GT12 |
（3）再经过t=
| nT1T2 |
| 2(T2-T1) |
点评：本题难点在于求卫星的质量，我们可以在行星周围找一颗最远的卫星研究，即把行星和其周围的卫星当成中心体，此法只适用于具有很远卫星的行星．
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