题目内容
19．
如图所示，一根有一定电阻的直导体棒质量为m、长为L，其两端放在位于水平面内间距也为L的光滑平行导轨上，并与之接触良好；棒左侧两导轨之间连接一可控电阻；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面．t=0时刻，给导体棒一个平行于导轨的初速度，此时可控电阻的阻值为R0．在棒运动过程中，通过可控电阻的变化使棒中的电流强度保持恒定．不计导轨电阻，导体棒一直在磁场中（1）求可控电阻R随时间t变化的关系式；
（2）若已知棒中电流强度为I，求0～t时间内可控电阻上消耗的平均功率P；
（3）若在棒的整个运动过程中将题中的可控电阻改为阻值为R0的定值电阻，则棒将减速运动位移x1后停下，而由题中条件，棒将运动位移x2后停下，求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值．
分析 （1）使棒中的电流强度保持恒定，结合欧姆定律知I=$\frac{E}{{R}_{棒}+R}$为定值，由于棒做匀减速运动，故感应电动势随时间减小，由此的到R随时间的变化关系；
（2）电阻随时间均匀减小，故电阻的功率可用平均功率等效代替，P=${I}^{2}\frac{R{+R}_{0}}{2}$；
（3）根据运动学公式与牛顿第二定律，结合电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，即可求解．
解答 解：（1）因棒中的电流强度保持恒定，故棒做匀减速直线运动，设棒的电阻为r，电流为I，其初速度为v0，加速度大小为a，经时间t后，棒的速度变为v，
则有：v=v0-at
而a=$\frac{BIL}{m}$
t=0时刻棒中电流为：$I=\frac{{BL{v_0}}}{{{R_0}+r}}$
经时间t后棒中电流为：$I=\frac{BLv}{R+r}$
由以上各式得：R=${R}_{0}-\frac{{{B}^{2}{L}^{2}}}{m}t$
（2）因可控电阻R随时间t均匀减小，故所求功率为：P=${I}^{2}×\frac{R{+R}_{0}}{2}$
由以上各式得：P=${I}^{2}（{R}_{0}-\frac{{{B}^{2}{L}^{2}t}}{2m}）$
（3）将可控电阻改为定值电阻R0，棒将变减速运动．
有：${v}_{0}=\overline{a}t′$
$\overline{a}=\frac{B\overline{I}L}{m}$
而$\overline{I}t′=\frac{\overline{E}}{{R}_{0}+r}t′$
$\overline{E}=\frac{△∅}{t′}=\frac{B{Lx}_{1}}{t′}$
由以上各式得：${x_1}=\frac{{m{v_0}（{R_0}+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$
而${x_2}=\frac{{v_{_0}^2}}{2a}$
由以上各式得${x_2}=\frac{{m{v_0}（{R_0}+r）}}{{2{B^2}{L^2}}}$
所求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2}{1}$
答：（1）求可控电阻R随时间t变化的关系式为：R=${R}_{0}-\frac{{{B}^{2}{L}^{2}}}{m}t$；
（2）若已知棒中电流强度为I，求0～t时间内可控电阻上消耗的平均功率P为${I}^{2}（{R}_{0}-\frac{{{B}^{2}{L}^{2}t}}{2m}）$；
（3）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值为2：1．
点评 解决本题的关键知道分析导体棒受力情况，应用闭合电路欧姆定律和牛顿第二定律求解，注意对于线性变化的物理量求平均的思路，本题中先后用到平均电动势、平均电阻和平均加速度．
| A． | 电压表V的读数为100$\sqrt{2}$V | |
| B． | 电流表A的读数为$\sqrt{2}$A | |
| C． | 原线圈输入功率为200W | |
| D． | 副线圈输出电流随时间变化的规律为i=10$\sqrt{2}$cos100πt（A） |
如图所示是一皮带传输装载机械示意图．井下挖掘工将矿物无初速放置于沿图示方向运行的传送带A端，被传输到末端B处，再沿一段圆形轨道到达轨道的最高点C处，然后水平抛到货台上．已知半径为R=0.4m的圆形轨道与传送带在B点相切，O点为半圆的圆心，BO、CO分别为圆形轨道的半径，矿物m可视为质点，传送带与水平面间的夹角θ=37°，矿物与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，传送带匀速运行的速度为v0=8m/s，传送带AB点间的长度为sAB=45m．若矿物落点D处离最高点C点的水平距离为sCD=2m，竖直距离为hCD=1.25m，矿物质量m=50kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，不计空气阻力．求：
如图示，在拉力作用下，小球A沿光滑的斜面缓慢地向上移动，在此过程中，小球受到的拉力F和支持力N的大小变化是（ ）| A． | F增大，N减小 | B． | F和N均减小 | C． | F和N 均增大 | D． | F减小，N不变 |
如图所示，在光滑的水平地面上有一个表面光滑的立方体Q．一长为L的轻杆下端用光滑铰链连接于O点，O点固定于地面上，轻杆的上端连接着一个可视为质点的小球P，P和Q的质量相等，小球靠在立方体左侧，杆竖直，整个装置处于静止状态．受到轻微扰动后P倒向右侧并推动Q．下列说法中正确的是（ ）| A． | 在小球和立方体分离前，当轻杆与水平面的夹角为θ时，小球的速度大小为 $\sqrt{gL（1-sinθ）}$ | |
| B． | 在小球和立方体分离前，当轻杆与水平面的夹角为θ时，立方体和小球的速度大小之比为sinθ | |
| C． | 在小球和立方体分离前，小球所受的合外力一直对小球做正功 | |
| D． | 在落地前小球的机械能一直减少 |
边长为h的正方形金属导线框，从图所示的初始位置由静止开始下落，通过一匀强磁场区域，磁场方向垂直于线框平面，磁场区宽度等于H，H＞h．从线框开始下落到完全穿过磁场区的整个过程中（ ）| A． | 线框运动的方向不是始终是向下的 | |
| B． | 线框加速度的方向总是向下 | |
| C． | 线框中总是有感应电流存在 | |
| D． | 线框在穿过磁场整个过程中损失的机械能全部转化为内能 |
| A． | 该粒子一定带负电 | |
| B． | a极板电势一定比b极板高 | |
| C． | 到达P点粒子的速度大小与ab间电磁场强弱无关 | |
| D． | 带电粒子的$\frac{q}{m}$比值越大，PS′间距离越大 |
相距为L的两光滑平行导轨与水平面成θ角放置．上端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计．整个装置处在方向竖直向上的匀强磁场中，磁感强度为B，质量为m，电阻为r的导体MN，垂直导轨放在导轨上，如图所示．由静止释放导体MN，求：