Question

（2006?西城区一模）如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．导轨和金属杆的电阻可忽略．让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，经过足够长的时间后，金属杆达到最大速度v_m，在这个过程中，电阻R上产生的热为Q．导轨和金属杆接触良好，它们之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ．已知重力加速度为g．
（1）求磁感应强度的大小；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到

1

3

v_m时，求此时杆的加速度大小；
（3）求金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度．

Answer 1

分析：（1）金属杆先沿导轨向下做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，速度达到最大值，此时金属杆受力平衡，根据平衡条件和安培力公式，求出磁感应强度B的大小．
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到

1

3

vm时，求出安培力，由牛顿第二定律求解加速度大小．
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中，其重力势能减小，转化为杆的动能、摩擦生热和电路中的焦耳热，根据能量守恒定律求解杆下降的高度．

解答：解：（1）当杆达到最大速度时受力平衡，受力如图　　

mgsinθ=BIL+μN         
N=mgcosθ                 
电路中电流　I=

E

R

=

BLvm

R

             
解得　　B=

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

  
（2）当杆的速度为

1

3

vm时，由牛顿第二定律：mgsinθ-BIL-μN=ma  
此时电路中电流：I′=

E′

R

=

BLvm

3R

　         
解得　a=

2

3

gsinθ-

2

3

μgcosθ   
（3）设金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度为h，由能量守恒：mgh=

1

2

m

v

2 m

+Q+μmgcosθ?s　
又　　    h=s?sinθ                       
解得　　 h=

m v 2 m +2Q

2mg(1-μcotθ)

答：（1）磁感应强度的大小B=

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

；
（2）当速度达到

1

3

v_m时，求此时杆的加速度大小a=

2

3

gsinθ-

2

3

μgcosθ；
（3）金属杆下降的高度h=

m v 2 m +2Q

2mg(1-μcotθ)

．

点评：本题的关键是会推导安培力的表达式，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒研究电磁感应现象，常规题．