Question

2．如图所示，在纸面内有一条过原点O的虚线MN，MN与x轴正方向的夹角为30°，在MN上有一点A，OA=L，在x轴上有一点C，坐标为x_c=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{6}$）L．空间有两个方向都垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，虚线MN是它们的理想边界，区域Ⅰ的磁感应强度的大小为B．在原点O处有一粒子源，可在纸面内向区域Ⅰ发射质量相同、电荷量相同、速率不同的正粒子，正粒子的速度方向与MN的夹角α在0～π的范围内．其中，一入射方向为α=30°、速度大小为v₀的粒子射入区域Ⅰ，从A点第一次进入区域Ⅱ，从C点第一次穿过x轴．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．
（1）求区域Ⅱ中磁场的磁感应强度大小B₂；
（2）速度方向与MN的夹角α=30°的所有粒子中，有些粒子能够通过A点，求这些粒子的速度大小；
（3）粒子源射出的所有粒子中，有些粒子不能穿过x轴，求这些粒子的速度方向与MN的夹角α应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）作出粒子在两磁场中的运动轨迹，根据半径公式和几何关系求出区域Ⅱ中磁场的磁感应强度大小．
（2）通过几何关系求出运动的轨道半径，结合半径公式求出粒子的速度大小，注意需考虑粒子从磁场Ⅰ向Ⅱ运动穿过A点，还有从从磁场Ⅱ向Ⅰ运动穿过A点．
（3）抓住粒子不能穿过x轴，结合粒子在磁场区域Ⅱ的轨道半径，结合几何关系求出粒子的速度方向与MN的夹角α应满足的条件．

解答 解：（1）当α=30°时，设速度为v₀的粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中做圆周运动的圆心分别为O₁、O₂，轨道半径分别为r₁₀、r₂₀，
由牛顿第二定律：${r_{10}}=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_{\;}}}}$①，${r_{20}}=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_2}}}$②
粒子从A点沿x轴正方向进入磁场Ⅱ，在直角△O₁AD中：${r}_{10}=\frac{L}{2sin30°}=L$③
在直角△O₂CE中：$r_{20}^2={（{r_{20}}-\frac{L}{2}）^2}+{（{x_C}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}L）^2}$④
由④解得：${r_{20}}=\frac{2}{3}L$
由①②③④解得：${B_2}=\frac{3}{2}B$，$\frac{m}{q}=\frac{BL}{v_0}$⑤
（2）当α=30°时，速率为v的粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中做圆周运动的半径分别为r₁、r₂，
由半径公式：${r_1}=\frac{mv}{qB}$，${r_2}=\frac{mv}{{q{B_2}}}$
解得：${r_2}=\frac{2}{3}{r_1}$⑥
ⅰ．若粒子从磁场Ⅰ向Ⅱ运动穿过A点，由几何关系：L=nr₁-（n-1）r₂⑦
联立解得：$v=\frac{{3{v_0}}}{n+2}，（n=1，2…）$
ⅱ．若粒子从磁场Ⅱ向Ⅰ运动穿过A点，由几何关系：L=n（r₁-r₂）⑧
联立解得：$v=\frac{{3{v_0}}}{n}，（n=1，2…）$
（3）设粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中做圆周运动的圆心分别为O₃、O₄，
由几何关系：OP=2r₁sinα
PG=OPsin30°，∠O₄PG=α-30°
PG≥r₂+r₂cos（α-30°）
联立解得：$sinα≥1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα$
故：α≥90°
答：（1）区域Ⅱ中磁场的磁感应强度大小为$\frac{3}{2}$B；
（2）这些粒子的速度大小为$\frac{3{v}_{0}}{n+2}$，（n=1，2…）或$\frac{3{v}_{0}}{n}$，（n=1，2…）；
（3）这些粒子的速度方向与MN的夹角α应满足的条件为α≥90°．

点评 带电粒子通过磁场的边界时，如果边界是直线，根据圆的对称性得到，带电粒子入射速度方向与边界的夹角等于出射速度方向与边界的夹角，这在处理有界磁场的问题常常用到．本题难度较大，是试卷中的压轴题