题目内容

(2013?福州模拟)如图甲所示,在竖直方向存在着两种区域:无电场区域和有理想边界的匀强电场区域.两种区域相互间隔出现,竖直高度均为h.电场区域共有n个,水平方向足够长,每一电场区域场强的大小均为E,且E=mg/q,场强的方向均竖直向上.一个质量为m、电荷量为q的带正电小球(看作质点),从第一无电场区域的上边缘由静止下落,不计空气阻力.

求:(1)小球刚离开第n个电场区域时的速度大小;
(2)小球从开始运动到刚好离开第n个电场区域所经历的总时间(可直接用数列形式表示);
(3)若在第n个电场区域内加上水平方向的磁场,磁感应强度随时间变化规律如图乙所 示,已知图象中B0=
m
2ngh
qh
,磁感应强度变化的周期T是带电小球在磁场中作匀速圆周运动周期的2倍,问哪段时间内进入第n个电场的小球能返回到与出发点等高的位置?
分析:1、小球在无电场区,只受重力作用,做加速度等于重力加速度g的匀加速直线运动,小球在电场区,所受电场力等于重力,做匀速直线运动. 
所以小球在无电场区域的运动等效看成自由落体运动,根据速度位移公式vn2=2gnh,计算小球刚离开第n个电场区域时的速度.
2、小球在无电场区做匀加速直线运动,进入电场区,因为电场力和重力平衡,做匀速直线运动,根据运动学公式求出小球在无电场区域中所经历的时间.根据自由落体运动的速度位移公式计算小球在第1、第2、第3、…第n个电场区运动的速度,从而计算出各段运动的时间,把各段时间求和即可.
3、当在第n个电场区域内加上方向垂直竖直平面的磁场时,电场力与重力平衡,带电小球仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动.
在0~
T
2
时间内进入复合场中的带电小球,B1qvn=
mvn2
r1
,解得r1=
mvn
qB1
=
m
2ngh
0.5qB0
=2h

T
2
~T时间内进入复合场中的带电小球,B2qvn=
mvn2
r2
,解得r2=
mvn
qB2
=
m
2ngh
qB0
=h

只有在(n+
1
2
)T
(n+
3
4
)T
时间段内进入复合场中的带电小球,运动
1
4
T
后沿竖直方向进入第n个无电场区,根据动能定理:
-mgh′=0-
1
2
mvn2
,解得h′=nh.
解答:解:(1)小球在无电场区,只受重力作用,做加速度等于重力加速度g的匀加速直线运动,小球在电场区,所受电场力等于重力,做匀速直线运动. 
小球在无电场区域的运动等效看成自由落体运动,位移为nh,则小球刚离开第n个电场区域时的速度,根据速度位移公式vn2=2gnh
解得vn=
2ngh

(2)小球在无电场区运动的总时间T1
nh=
1
2
gT12

T1=
2nh
g

设小球在第1、第2、第3、…第n个电场区运动的速度分别为v1、v2、v3-----、vn
v12=2gh              v1=
2gh

v22=2g(2h)=4gh          v2=
4gh

v32=2g(3h)=6gh          v3=
6gh


vn2=2gnh                 vn=
2ngh

小球在第1、第2、第3、--------第n个电场区运动的时间分别为t1、t2、t3…、tn
小球在电场区运动的总时间T2
T2=t1+t2+t3+…+tn       
=
h
v1
+
h
v2
+
h
v3
+…+
h
vn

=h(
1
v1
+
1
v2
+
1
v3
+…+
1
vn
)

=h(
1
2gh
+
1
4gh
+
1
6gh
+…+
1
2ngh
)

=
h
2g
(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)

设小球从开始运动到刚好离开第n个电场区域所经历的总时间T
T=T1+T2
T=
2nh
g
+
h
2g
(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)

(3)当在第n个电场区域内加上方向垂直竖直平面的磁场时,电场力与重力平衡,带电小球仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动.
在0~
T
2
时间内进入复合场中的带电小球,洛伦兹力提供向心力B1qvn=
mvn2
r1

解得r1=
mvn
qB1
=
m
2ngh
0.5qB0
=2h

T
2
~T时间内进入复合场中的带电小球,洛伦兹力提供向心力B2qvn=
mvn2
r2

解得r2=
mvn
qB2
=
m
2ngh
qB0
=h

只有在(n+
1
2
)T
(n+
3
4
)T
时间段内进入复合场中的带电小球,运动
1
4
T
后沿竖直方向进入第n个无电场区,根据动能定理:
-mgh′=0-
1
2
mvn2

解得h′=nh
所以在(n+
1
2
)T
(n+
3
4
)T
时间段内进入第n个电场的小球能返回到与出发点等高的位置.
点评:解决本题的关键理清小球在无电场区和电场区的运动规律,运用运动学公式进行求解.
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