Question

10．如图所示将一半径为R、质量为M的光滑半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块，今让一质量为m的小球自左侧槽口A的正上方距槽口A高为h的位置从静止开始落下，与圆弧槽相切自A点进入槽内，试求：
（1）小球运动到图中B位置时速度为多大？
（2）小球从位置C离开时，半圆槽的速度是多大？
（3）小球离开C后，还能上升多大的高度．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理研究小球自离槽口到B点，求出球到达B点速度，
（2）当小球在半圆槽内运动的B到C过程中，槽也会向右运动．水平方向满足动量守恒．当球到达A点即将与槽分离时，小球和槽具有相同的水平方向速度，小球与槽组成的系统机械能守恒．
（3）球离开槽后向上做斜上抛运动，当竖直方向的分速度等于0时，上升的高度最大．

解答 解：（1）根据动能定理研究小球自离槽口到B点，
mg（h+R）=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
v_B=$\sqrt{2（h+R）}$，
（2）当小球在半圆槽内运动的B到C过程中，槽也会向右运动．水平方向满足动量守恒．当球到达A点即将与槽分离时，小球和槽具有相同的水平方向速度，规定向右为正方向，根据水平方向系统动量守恒得
mv_B=（M+m）v
得：v=$\frac{m\sqrt{2（h+R）}}{M+m}$，方向水平向右．
（3）球离开槽后向上做斜上抛运动，当竖直方向的分速度等于0时，上升的高度最大，此时小球与槽具有相等的水平速度，根据小球与槽组成的系统机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$=mg（R+H）+$\frac{1}{2}$Mv²+$\frac{1}{2}$mv²
整理得：H=$h-\frac{m（h+R）}{M+m}$
答：（1）小球运动到图中B位置时速度为$\sqrt{2（h+R）}$；
（2）小球从位置C离开时，半圆槽的速度是$\frac{m\sqrt{2（h+R）}}{M+m}$；
（3）小球离开C后，还能上升的高度是$h-\frac{m（h+R）}{M+m}$．

点评 考查动量守恒定律与机械能守恒定律．当球下落到最低点过程，由于左侧竖直墙壁作用，小球与槽组成的系统水平方向上的动量不守恒，但小球机械能守恒．当球从最低点上升时，小球与槽组成的系统水平方向上的动量守恒．