Question

18．甲、乙两列火车在同一轨道上同向行驶，甲车在前，其速度为v_甲=10m/s，乙车在后，其速度为v_乙=30m/s．因大雾能见度低，乙车在距甲车700m时才发现前方有甲车，这时乙车立即刹车，但要经过1800m乙车才能停下，且乙车在减速行驶20秒后开始鸣笛示警，甲车司机听到声音一秒后做出反应马上开始以a=0.25m/s²的加速度加速行驶．（已知声音传播的速度为335.125m/s；结果要求保留两位小数）试问：
（1）甲车听到笛声时两车距离？
（2）两车能否相撞？若未相撞试求两车最近距离？

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式v²-v₀²=2ax，求出乙车刹车的最大加速度，然后求出乙车在20s内的位移和此时两车之间的距离，由x=vt求出声音到达甲车的时间，然后由位移公式即可求出．
（2）在两车速度相等之前，两车的距离越来越小，若未相撞，则不会在相撞，因为速度相等之后，两车的距离又越来越大．所以在速度相等时，两车最近•

解答 解：（1）根据公式：v²-v₀²=2ax
乙车的加速度：a=$\frac{0-{v}_{乙}^{2}}{2x}=\frac{0-3{0}^{2}}{2×1800}=-0.25m/{s}^{2}$
乙车20s内的位移：${x}_{1}={v}_{乙}•{t}_{1}+\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$30×20+\frac{1}{2}×（-0.25）×2{0}^{2}$=550m
乙的速度：v′=v_乙+at₁=30+（-0.25）×20=25m/s
甲的位移：x₁′=v_甲•t₁=10×20=200m
此时甲与乙之间的距离：△x₁=L+x₁′-x₁=700+200-550=350m
设甲车听到笛声时声波传播的时间是t₂，则：（v_s-v_甲）t₂=△x₁
代入数据得：t₂=1.0765s
此过程中甲的位移：x₂′=v_甲t₂
乙的位移：x₂=$v′{t}_{2}+\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
甲车听到笛声时两车距离：△x₂=△x₁+x₂′-x₁′
代入数据，联立得：△x₂=334.00m
（2）当两车的速度相等时，v′+a（t₂+1+t₃）=v_甲+a′t₃
代入数据得：t₃=47.347s
此过程中甲的位移：${x}_{3}′={v}_{甲}{t}_{3}+\frac{1}{2}a{′t}^{3}$=$10×47.347+\frac{1}{2}×0.25×47.34{7}^{2}=753.687$m
乙的位移：${x}_{3}=v′{t}_{3}+\frac{1}{2}a{t}^{3}$=$25×47.347+\frac{1}{2}×（-0.25）×47.34{7}^{2}=903.458$m
此时甲与乙之间的距离：△x₃=△x₁+x₃′-x₃=350+753.687-903.458=200.23m
所以两车不会相撞．
答：（1）甲车听到笛声时两车距离是334.00m
（2）两车不会相撞．若未相撞试求两车最近距离是200.23m

点评 解决本题的关键知道速度大者减速追速度小者，在速度相等之前，两车的距离越来越小，若未相撞，速度相等之后，两车的距离越来越大，可知只能在速度相等之时或相等之前相撞．