Question

16．如图所示，一根均质绳质量为M，其两端固定在天花板上的A、B两点，在绳的中点悬挂一重物，质量为m，悬挂重物的绳PQ质量不计．设α、β分别为绳子端点和中点处绳子的切线方向与竖直方向的夹角，则（　　）

• A． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{m+M}$
• B． $\frac{cosα}{cosβ}$=$\frac{m}{m+M}$
• C． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M}$
• D． $\frac{cosα}{cosβ}$=$\frac{m}{M}$

Answer 1

分析 先以整体为研究对象，根据平衡条件分析端点处对绳子的拉力与总重力的关系式；
再对左半边绳子研究，得到端点和中点绳子的拉力的关系式；再采用比例法求解．

解答 解：设绳子端点处和中点处绳子张力大小分别为F₁、F₂．对整体研究，分析受力，如上图所示，根据平衡条件得：F₁cosα=$\frac{1}{2}$（M+m）g…①，
对左半边绳子研究得：
F₁cosα=F₂cosβ+$\frac{1}{2}$Mg…②，
F₁sinα=F₂sinβ…③，
由①②得到：F₂cosβ=$\frac{1}{2}$mg…④，
则由③：①得：tanα=$\frac{2F2sinβ}{（M+m）g}$…⑤，
由③：④得：tanβ=$\frac{{2{F_1}sinα}}{mg}$…⑥，
所以由③⑤⑥联立得：$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$；
故选：A

点评 本题是力平衡问题，难点存在如何选择研究对象和如何运用数学知识变形求解．
隔离法与整体法：
①整体法：以几个物体构成的整个系统为研究对象进行求解．在许多问题中用整体法比较方便，但整体法不能求解系统的内力．
②隔离法：从系统中选取一部分（其中的一个物体或两个物体组成的整体，少于系统内物体的总个数）进行分析．隔离法的原则是选取受力个数最少部分的来分析．
③通常在分析外力对系统作用时，用整体法；在分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法．有时在解答一个问题时要多次选取研究对象，需要整体法与隔离法交叉使用．