Question

（20分）求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件，并就不同类型的透镜讨论可行性。

Answer 1

解析：我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征：球形表面的半径r₁和r₂，厚度d和折射率n（如图4所示）。焦距f＝B F由下式给出

焦距是从主点B算起的。B点离表面的距离为

　　上述公式对任意厚度的厚透镜都成立，但只对近轴光线才给出满意的结果，因为是在一定的近似下得到的。

　　光被透镜色散。透镜对波长λ_a的折射率是n _a，对波长λ _b的折射率是n _b。按折射率的幂次整理焦距公式，得

f（r₁＋r₂－d）n²＋[2fd－f（r₁ ＋r₂）－r₁r ₂]n－f d＝0

这是一个二次方程。给定一个f值，应有两个n值，因此，我们的问题可望解决。

　　先后以n _a和n _b代入方程，并令其相等：

结果得出

　　如果半径r₁、r₂与厚度d满足这一条件，则对两个不同的波长，即对两个不同的折射率来说，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积n _a?n _b在起作用，而不是色散（n _b－n _a）。因为折射率大于１，于是括号内的数值小于１，说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜是相当厚的。

　　结果讨论：首先透镜不能是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次，r₁和r₂之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。

　　如果要求的不是f而是（f－h）对两个折射率有相同的值（注：即要求消除焦点色差），实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。