Question

如图甲所示，光滑的水平地面上固定一长为L=1.7m长木板C，板的左端有两小物块A和B，其间夹有一根长为1.0m的轻弹簧，弹簧没有形变，且与物块不相连．已知m_A=m_C=20kg，m_B=40kg，A与木板C、B与木板C的动摩擦因数分别为μ_A=0.50，μ_B=0.25，用水平力F作用于 A，让F从零逐渐增大，并使B缓慢地向右移动了0.5m，使弹簧储存了弹性势能E_O．问：



（1）若弹簧的劲度系数为k=200N/m，以作用力F为纵坐标，A移动的距离为横坐标，试在图乙的坐标系中作出推力F随A位移的变化图线；
（2）求出弹簧储存的弹性势能E_O的大小；
（3）当物块B缓慢地向右移动了0.5m后，保持A、B两物块间距，将其间夹有的弹簧更换，使得压缩量仍相同的新弹簧储存的弹性势能为12E_O，之后同时释放三物体A、B和C，已被压缩的轻弹簧将A、B向两边弹开，哪一物块将先弹出木板C，最终C的速度是多少？

Answer 1

（1）A与C间的摩擦力为：f_A=μ_Am_Ag=0.5×20×10N=100N，B与C间摩擦

为：f_B=μ_Bm_Bg=0.25×40×10N=100N，
推力F从零逐渐增大，当增大到100N时，物块A开始向右移动压缩轻弹簧（此时B仍保持静止），设压缩量为x，则力F=f_A+kx，
当x=0.5m时，力F=f_A+f_B=200N，此时B将缓慢地向右移．B在移动0.5m的过程中，力F保持F=200N不变，弹簧压缩了0.5m，B离木板C的右端0.2m，A离木板C有左端1.0m．作出力F随A位移的变化图线如图所示．
（2）在物块B移动前，力F作用于物块A，压缩弹簧使弹簧贮存了弹性势能E₀，物块A移动了s=0.5m，设力F做功为W，由能量守恒可得
弹簧贮存的弹性势能大小为：E₀=W-f_As=

100+200

2

×0.5J-100×0.5J=25J
（3）撤去力F之后，AB两物块给木板C的摩擦力的合力为零，故在物块AB滑离木板C之前，C仍静止不动．物块AB整体所受外力的合力也为零，其动量守恒，可得
  m_Av_A=m_Bv_B
由题可知，始终v_A：v_B=m_B：m_A=2：1 当物块B在木板C上向右滑动了0.2m，物块A则向左滑动了0.4m，但A离木板C的左端还有d=0.6m．可见，物块B先滑离木板C．
并且两物体的相对位移△s=0.4m+0.2m=0.6m＞0.5m（弹簧的压缩量），弹簧储存的弹性势能已全部释放，由能量守恒定律有
    12E₀=

1

2

mA

v

2A

+

1

2

mB

v

2B

+f_A?△s
由此求出物块B滑离木板C时A物块的速度为v_A=4m/s
设此后A滑离木板C时，物体A的速度v_A′，木板C的速度v_c′，有动量守恒定律有
    m_Av_A=m_Av_A′+m_Cv_C′
 由能量守恒有f_Ad=

1

2

mA

v

2A

-（

1

2

mAvA′2+

1

2

mCvC′2）有
将d=0.6m及有关数据代入上两式解得：v_C′=1m/s，（v_C′=3m/s，不合题意舍弃）
答：（1）推力F随A位移的变化图线如图所示；
（2）弹簧储存的弹性势能E₀的大小为25J；
（3）最终C的速度是1m/s．