Question

15．磁感应强度为B的匀强磁场仅存在于边长为3L的正方形范围内，有一个电阻为R、边长为L的正方形导线框abcd，沿垂直于磁感线方向，以速度v匀速通过磁场，如图所示，从ab边进入磁场算起，求：
（1）画出穿过线框的磁通量随时间变化的图线．
（2）判断线框中有无感应电流？若有，方向怎样？
（3）求线框通过磁场区域的过程中，外力所做的功？

Answer 1

分析 （1）根据磁通量公式Φ=BS，分段研究磁通量与时间的关系，再画出图象．
（2）对照产生感应电流的条件：穿过电路的磁通量发生变化，分析判断有无感应电流产生．由楞次定律分析感应电流的方向．
（3）线框匀速运动，外力等于安培力，先求出安培力，再求外力做功．

解答 解：（1）线框进入磁场阶段：由于线框匀速运动，进入时线框的面积线性增加，S=Lvt，所以Φ=BS=BLvt；
进入的时间是 t₁=$\frac{L}{v}$，最后Φ=BL²；
线框在磁场中运动阶段：运动时间为t₂=$\frac{2L}{v}$，穿过回路的磁通量恒定为Φ=BL²；
线框离开磁场阶段：由于线框匀速运动，离开时线框的面积线性减少，即△S=Lvt，所以Φ=BS=B（L²-Lvt），离开的时间是 t₃=$\frac{L}{v}$，最后Φ=0．
故穿过线框的磁通量随时间变化的图线如图．
（2）线框进入磁场阶段：穿过线框的磁通量增加，线框中将产生感应电流，由右手定则可知，线框中感应电流方向为逆时针方向．大小不变．  
线框在磁场中运动阶段：穿过线框的磁通量不变，线框中没有感应电流．  
线框离开磁场阶段：穿过线框的磁通量减少，线框中将产生感应电流，右手定则可知，线框中感应电流方向为顺时针方向．大小不变．
（3）线框进入磁场阶段：由于线框匀速运动，外力等于安培力，所以 W_外1=W_安=BIL•L=$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$  
线框磁场中运动阶段：回路中没有感应电流，也不受外力作用，所以 W_外=0．
线框离开磁场阶段：与进入时一样 W_外2=W_安=BIL•L=$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
整个过程的外力功为：W_外=W_外1+W_外2=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
答：
（1）画出穿过线框的磁通量随时间变化的图线如图所示．
（2）线框进入磁场阶段：线框中将产生感应电流，由右手定则可知，线框中感应电流方向为逆时针方向．大小不变．线框在磁场中运动阶段：线框中没有感应电流．线框离开磁场阶段：线框中将产生感应电流，线框中感应电流方向为顺时针方向．大小不变．
（3）线框通过磁场区域的过程中，外力所做的功为$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$．

点评 熟悉磁通量的定义和利用右手定则求解感应电流的方向是解决本题的关键，亦可用楞次定律求解感应电流的方向．