Question

3．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，边界OC上有一荧光屏（粒子打在上面，可激发荧光），边界OA上距O点距离为L处有一粒子源S，从某一时刻起，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒了间的相互作用力），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间后有大量粒子从边界OC射出磁场打在荧光屏上，已知∠AOC=60°，打在荧光屏上的粒子在磁场中运动的最短时间等于$\frac{T}{6}$（T为粒子在磁场中运动的周期，用T为已知值），求：
（1）粒子的质量和电荷量的比值；
（2）粒子做圆周运动的半径；
（3）粒子打在荧光屏上形成的亮线的长度．

Answer 1

分析 （1）已知粒子在磁场中做圆周运动的周期，根据粒子周期公式可以求出粒子的质量和电荷量的比值；
（2）粒子在磁场中运动做匀速圆周运动，所有粒子的初速度大小相同，轨迹半径相同，弦越大，轨迹的圆心越大，运动时间越长．
（3）求出粒子打在OC上的最大与最小距离，然后确定范围．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
则粒子的质量和电荷量的比值为：$\frac{m}{q}$=$\frac{BT}{2π}$；
（2）粒子在磁场中运动做匀速圆周运动，入射点是S，出射点在OC直线上，出射点与S点的连线为轨迹的一条弦．
当从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，轨迹的弦最短，
根据几何知识，作ES⊥OC，则ES为最短的弦，粒子从S到E的时间即最短．
由题意可知，粒子运动的最短时间等于：$\frac{T}{6}$，运动时间：t=$\frac{θ}{360°}$T，解得：θ=60°，
设OS=L，则ES=$\frac{\sqrt{3}}{2}$L，由几何知识，得粒子运动的轨迹半径为R=ES=$\frac{\sqrt{3}}{2}$L；
（3）粒子打在OC上的最短距离：OE=$\frac{ES}{tan60°}$=$\frac{1}{2}$L，
当粒子轨迹的弦是直径时运动时间最长，打在OC上的距离最大，OD=$\frac{2R}{sin60°}$=2L，
粒子打在荧光屏上形成的亮线的长度：d=OD-0E=$\frac{3}{2}$L；
答：（1）粒子的质量和电荷量的比值为$\frac{BT}{2π}$；
（2）粒子做圆周运动的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$L；
（3）粒子打在荧光屏上形成的亮线的长度为$\frac{3}{2}$L．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，带电粒子在磁场中圆周运动的问题是高考的热点，也是难点，关键是运用几何知识画出轨迹．