题目内容
如图甲所示，有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长为0.4m的轻绳相连结．开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于高度为0.2m处．然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半径为R′（r＜R′＜R）的圆孔，圆孔与两薄板中心均在圆板中心轴线上，木板与支架发生没有机械能损失的碰撞．碰撞后，两板即分离，直到轻绳绷紧．在轻绳绷紧的瞬间，两物体具有共同速度v，如图乙所示．求：
（1）若M/m=K，试讨论 v的方向与K值间的关系．
（2）若M=m，则v值为多大？
（1）若M/m=K，试讨论 v的方向与K值间的关系．
（2）若M=m，则v值为多大？
分析：（1）开始 M与m自由下落，机械能守恒．M与支架C碰撞后，碰撞过程中无机械能损失，M以原速率返回，向上做匀减速运动．m向下做匀加速运动．当M与m的位移大小之和等于绳长时，绳子绷紧，根据位移公式和位移之和等于绳长求出时间，由速度公式求出绳绷紧前两物体的速度．在绳绷紧瞬间，内力（绳拉力）很大，可忽略重力，认为在竖直方向上M与m系统动量守恒，根据动量守恒定律求出V．
（2）根据V与K的关系式，讨论分析V的方向．
（2）根据V与K的关系式，讨论分析V的方向．
解答：解：（1）选取研究对象显然是M和m，它们可以合在一起看作一个质点．本题可把整个过程分三个阶段处理：
第一阶段，两板看成一个质点自由下落直到与固定支架发生碰撞．故碰撞前的速度为v0=
=2m/s
第二阶段，以地面为参考系，M与支架C碰撞后，M以速率v0返回，向上做竖直上抛运动，m以速率v0向下做匀加速运动．两个质点同时做不同的运动，这样的物理模型比较复杂．若改变参考系，可以选择其他的运动模型，从而使过程简化．以大圆板为参考系，则M静止，小圆板以速率2v0向下做匀速直线运动．一个静止，一个匀速运动，这个运动模型简单多了．设经过时间t后两板间绳绷紧，有：L=2v0t…①
再回到以地面为参考系的情况，vM=v0-gtvm=v0-gt…②
vm=v0+gt…③
解以上三式得vM=1m/s，vm=3m/s
第三阶段，绳绷紧瞬间，由于板间绳作用力远大于它们的重力，所以动量守恒，设向上为正方向，有MvM-mvm=（M+m）v…④
得：v=
=
…⑤
（2）M=m，即k=1，代入上式得，v=-1m/s，两板获得向下的共同速度．还可知道：
当k＞3时，两板获得向上的共同速度；
当k＜3时，两板获得向下的共同速度；
当k=3时，v=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落．
答：（1）若M/m=K，讨论 v的方向与K值间的关系v=
=
；
（2）若M=m，则v值为M=m，即k=1，代入上式得，v=-1m/s，两板获得向下的共同速度．还可知道：
当k＞3时，两板获得向上的共同速度；
当k＜3时，两板获得向下的共同速度；
当k=3时，v=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落．
第一阶段，两板看成一个质点自由下落直到与固定支架发生碰撞．故碰撞前的速度为v0=
| 2gh |
第二阶段，以地面为参考系，M与支架C碰撞后，M以速率v0返回，向上做竖直上抛运动，m以速率v0向下做匀加速运动．两个质点同时做不同的运动，这样的物理模型比较复杂．若改变参考系，可以选择其他的运动模型，从而使过程简化．以大圆板为参考系，则M静止，小圆板以速率2v0向下做匀速直线运动．一个静止，一个匀速运动，这个运动模型简单多了．设经过时间t后两板间绳绷紧，有：L=2v0t…①
再回到以地面为参考系的情况，vM=v0-gtvm=v0-gt…②
vm=v0+gt…③
解以上三式得vM=1m/s，vm=3m/s
第三阶段，绳绷紧瞬间，由于板间绳作用力远大于它们的重力，所以动量守恒，设向上为正方向，有MvM-mvm=（M+m）v…④
得：v=
| ||
|
| k-3 |
| k+1 |
（2）M=m，即k=1，代入上式得，v=-1m/s，两板获得向下的共同速度．还可知道：
当k＞3时，两板获得向上的共同速度；
当k＜3时，两板获得向下的共同速度；
当k=3时，v=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落．
答：（1）若M/m=K，讨论 v的方向与K值间的关系v=
| ||
|
| k-3 |
| k+1 |
（2）若M=m，则v值为M=m，即k=1，代入上式得，v=-1m/s，两板获得向下的共同速度．还可知道：
当k＞3时，两板获得向上的共同速度；
当k＜3时，两板获得向下的共同速度；
当k=3时，v=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落．
点评：此题涉及四个过程：两物体一起自由下落、M与板碰撞、两物体分别向下和向上运动、绳绷紧，将全过程分成若干个子过程进行研究，同时寻找各个过程的规律，这是解决复杂问题的基本思想．
求“撞后两板立刻分离，直到轻绳绷紧”的时间也可用相对运动的知识求解（两物体做相对速度为4m/s、相对位移为0.4m的匀速直线运动），可以简化过程．
求“撞后两板立刻分离，直到轻绳绷紧”的时间也可用相对运动的知识求解（两物体做相对速度为4m/s、相对位移为0.4m的匀速直线运动），可以简化过程．
练习册系列答案
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粗糙绝缘的水平地面上，有两块竖直平行相对而立的金属板AB．板间地面上静止着带正电的物块，如图甲所示，当两金属板加图乙所示的交变电压时，设直到t1时刻物块才开始运动，（最大静摩擦力与动摩擦力可认为相等），则（ ）
| A、在0-t1时间内，物块受到逐渐增大的摩擦力，方向水平向右 | B、在t1-t3时间内，物块受到的摩擦力，先逐渐增大，后逐渐减小 | C、t3时刻物块的速度最大 | D、t4时刻物块的速度最大 |
时刻物块才开始运动，(最大静摩擦力与动摩擦力可认为相等)，则：( )
时间内，物块受到逐渐增大的摩擦力，方向水平向右
时刻物块才开始运动，(最大静摩擦力与动摩擦力可认为相等)，则：( )
时间内，物块受到逐渐增大的摩擦力，方向水平向右
时间内，物块受到的摩擦力，先逐渐增大，后逐渐减小
时刻物块的速度最大
时刻物块的速度最大