题目内容

（2006?南通模拟）如图（甲）所示，小物块m1与m2通过一轻弹簧相连，静止于固定的光滑水平长木板上，物块m1与固定在长木板上的竖直挡板接触．现将小物块m3正对物块m1与m2的方向以初速度v0运动，与物块m2发生无机械能损失的碰撞．已知物块m1与m2的质量均为m，物块m3的质量为m/3，弹簧的劲度系数为k，且下述过程中弹簧形变始终在弹性限度内．

（1）试求在碰后过程中物块m3的速度和物块m1的最大速度；
（2）若只将长木板右端抬高，变成倾角为θ的固定斜面，如图（乙）所示，物块m1、m2处于静止状态，现让物块m3从长木板上的A点静止释放，与物块m2相碰后粘合在一起，为使物块m2、m3向上反弹到最大高度时，物块
m1对挡板的压力恰为零，则A点与碰撞前物块m2的距离为多大？整个运动过程中弹簧最多比原来增加多少弹性势能？
分析：（1）物块m3、m2碰撞，碰撞过程中动量守恒和机械能守恒，列出等式，当物块m1的速度最大时，弹簧恢复原长，根据m1、m2和弹簧系统动量守恒列出等式求解
（2）物块m3和物块m2碰撞，动量守恒和机械能守恒，弹簧压缩最大时，整个运动过程中弹簧增加的弹性势能最大，此时物块m2的速度为零，对物块m3和物块m2粘合在一起后与弹簧组成的系统，由功能关系求解．
解答：解：（1）设碰撞后物块m3的速度为v1，m2的速度为v2
碰撞过程中动量守恒，m3v0=m3v1+m2v2
又发生无机械能损失的碰撞，
1
2
m3v
2
0
=
1
2
m3v
2
3
+
1
2
m2v
2
2

解得：v1=-
1
2
v0，v2=
1
2
v0
即物块m3的速度大小是
1
2
v0，方向水平向右．
物块m1离开挡板时，物块m2的速度大小是
1
2
v0，方向向右．
当物块m1的速度最大时，弹簧恢复原长，设物块m1的最大速度为vm，此时物块m2的速度为v3，
根据m1、m2和弹簧系统动量守恒得
m2
v0
2
=m2v3+m1vm
1
2
m2(
v0
2
)
2
 
=
1
2
m2v
2
3
+
1
2
m1v
2
m

解得：vm=
1
2
v0
（2）设物块m3和物块m2碰撞前弹簧压缩量为x1，mgsinθ=kx1，
设物块m3开始下滑时离物块m2的距离为L，下落到与物块m2碰前的速度为v4，
根据机械能守恒得
m3gsinθ L=
1
2
m3v
2
4

物块m3和物块m2碰撞，动量守恒，设碰后物块速度为v5
m3v4=（m3+m2）v5
当物块m2向上反弹到最大高度时，物块m1对挡板的压力恰为零，此时弹簧伸长x2=x1．
弹簧的弹性势能相等，碰撞后整个系统机械能守恒，
1
2
（m3+m2）
v
2
5
=（m3+m2）g?2x2sinθ
解得：L=
32mgsinθ
k

弹簧压缩最大时，整个运动过程中弹簧增加的弹性势能最大，此时物块m2的速度为零，对物块m3和物块m2粘合在一起后与弹簧组成的系统，
设静止时弹簧的压缩量为x3，所以（m3+m2）ginθ=kx3
由运动的对称性可知，物块m3和物块m2整体向下运动的最大距离为s=2x3
设弹簧最多增加的弹性势能为△Epm，对物块m3、m2和弹簧组成的系统，由功能关系得
△Epm=
1
2
（m3+m2）
v
2
5
+（m3+m2）g?s?inθ
解得：△Epm=
56(mgsinθ)2
9k

答：（1）在碰后过程中物块m3的速度和物块m1的最大速度是
1
2
v0；
（2）A点与碰撞前物块m2的距离为
32mgsinθ
k
，整个运动过程中弹簧最多比原来增加
56(mgsinθ)2
9k
弹性势能．
点评：本题主要考查了动量守恒定律及能量守恒定律的应用，能够知道当弹簧压缩最大时，其势能最大．
练习册系列答案
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B．轻敲音叉，使它振动，同时烧断悬线，使金属片自由下落．
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4
9
（b6+b5+b4-b3-b2-b1）f02
4
9
（b6+b5+b4-b3-b2-b1）f02
．
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C
C
．
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Asin（2πf0
2h
g
）
Asin（2πf0
2h
g
）
．
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