Question

（2008?山东）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体（可视力质点）以v_a=5m/s的水平初速度由c点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．小物体勺地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3，不计其它机械能损失．已知ab段长L=1.5m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0.01kg，g=10m/s²．求：
（1）小物体从P点抛出后的水平射程．
（2）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向．

Answer 1

分析：运用动能定理研究a点到p点，列出等式求出小球在P点的速度．
小物体从P点抛出后做平抛运动，根据平抛运动规律求出水平射程．
运用动能定理研究a点到数字“0”的最高点，求出物体在数字“0”的最高点的速度大小．
由于物体在数字“0”的最高点做圆周运动，求出需要的向心力，根据向心力大小和重力大小关系确定管道对小物体作用力的大小和方向．

解答：解：（1）设小物体运动到P点时速度大小为v_p，对小物体有a运动到P过程中应用动能定理得：
-μmgL-2mgR=

1

2

mv_p²-

1

2

mv_a²
小物体自P点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为x，则
根据平抛运动规律得：
2R=

1

2

gt² ，
x=vt，
联立以上三式代入数据解得：x=0.8m．
（2）设小物体运动到数字“0”的最高点时速度大小为v，对小物体由a运动到数字“0”的最高点过程中应用动能定理得：-μmgL-2mgR=

1

2

mv²-

1

2

mv_a²
设在数字“0”的最高点管道对小物体的作用力为F，在数字“0”的最高点，小物体需要的向心力F_向=

mv2

R

=0.4N，
由于重力mg=0.1N＜F_向
所以F_向=mg+F
代入数据解得F=0.3N，方向竖直向下．
答：（1）小物体从P点抛出后的水平射程是0.8m．
（2）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小是0.3N，方向为竖直向下．．

点评：选取合适的研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．
对于细圆管的作用力方向的判断和细杆属于一类，应该先求出需要的向心力，根据向心力大小和重力大小关系确定管道对小物体作用力的大小和方向．