Question

17．半径为R的圆形区域内垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆心O到直线MN距离为$\frac{3}{5}$R．一个带电的粒子以初速度v₀沿MN方向飞出磁场，不计粒子的重力，已知粒子飞出磁场时速度方向偏转了90°．求：
（1）带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）带电粒子在磁场中运动的时间t．

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由于粒子电性未知，所以存在两种情况，根据洛伦兹力提供向心力求出半径，再与几何关系联立即可；求粒子在磁场中运动时间运用周期公式结合所转过的圆心角即可．

解答 解：情况一：若粒子带正电，轨迹如图1所示，

根据对称关系可知，两圆心连线OO′为∠PO′Q的角平分线，
所以∠OO′Q=∠OO′P=45°，可知四边形OPO′Q为正方形，故O′Q=OQ，
由几何关系可得：r=O′Q+QM=OQ+QM=Rcosθ+$\frac{3}{5}$R ①
cosθ=$\frac{\sqrt{{R}^{2}-（\frac{3}{5}R）^{2}}}{R}$=$\frac{4}{5}$ ②
由①②得：r=$\frac{7}{5}$R ③
电荷进入磁场，做匀速圆周运动，设其轨道半径为r，根据牛顿第二定律可得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ④
由③④得：$\frac{q}{m}$=$\frac{5{v}_{0}}{7BR}$
T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{14πR}{5{v}_{0}}$ ⑤
又因为t=$\frac{T}{4}$ ⑥
由⑤⑥得：t=$\frac{7πR}{10{v}_{0}}$
情况二：若粒子带负电，轨迹如图2所示，

根据对称关系可知，两圆心连线OO′′为∠CDE的角平分线，
所以∠ODC=∠ODE=45°，可知四边形OCDE为正方形，故CD=ED，
由几何关系可得：r=CM-CD=CM-ED=Rcosθ-$\frac{3}{5}$R ⑦
cosθ=$\frac{\sqrt{{R}^{2}-{（\frac{3}{5}R）}^{2}}}{R}$=$\frac{4}{5}$ ⑧
由⑦⑧得：r=$\frac{1}{5}R$  ⑨
电荷进入磁场，做匀速圆周运动，设其轨道半径为r，根据牛顿第二定律可得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ⑩
由⑨⑩得：$\frac{q}{m}$=$\frac{5{v}_{0}}{BR}$ 
T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πR}{5{v}_{0}}$⑪
又因为t=$\frac{T}{4}$⑫
由⑪⑫得：t=$\frac{πR}{10{v}_{0}}$
答：（1）带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{5{v}_{0}}{7BR}$或$\frac{5{v}_{0}}{BR}$；
（2）带电粒子在磁场中运动的时间t为$\frac{7πR}{10{v}_{0}}$或$\frac{πR}{10{v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，考查半径公式以及周期公式的运用；解题的关键是画出粒子运动轨迹的过程图，运用洛伦兹力提供向心力与几何关系结合的思路；注意粒子电性不确定，导致结果有两种情况．