题目内容

一弹性小球自4.9m高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度减小到碰前的7/9，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间．（g取9.8m/s²）

解：小球第一次落地时速度为
v₀= $\text{[math]}$ =9.8m/s
由题小球第2，3，4…（n+1）次落地时速度分别为
v₁= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
…
v_n= $\text{[math]}$
小球第1下落时间为
t₀= $\text{[math]}$
小球从第1次与地面相撞到第2次与地面相撞经过的时间为
t₁= $\text{[math]}$
小球从第2次与地面相撞到第3次与地面相撞经过的时间为
小球从第2次与地面相撞到第3次与地面相撞经过的时间为
t₂= $\text{[math]}$
小球从第3次与地面相撞到第4次与地面相撞经过的时间为
t₃= $\text{[math]}$
…
由数学归纳推理得
小球从第n次与地面相撞到第（n+1）次与地面相撞经过的时间为
t_n=2× $\text{[math]}$ s
所以小球运动的总时间为
t=t₁+t₂+t₃+…+t_n=1s+2× $\text{[math]}$ =8s．
小球从开始下落到停止运动所经过的时间是8s．
分析：小球自h₀=4.9m高处自由落下，求出第一次落地时的速度，由题得到第二、三、四…次落地的速度．第一次小球做自由落体运动，以后撞地后，小球做竖直上抛运动，由t= $\text{[math]}$ 求竖直上抛的时间，根据规律，由数学知识求解总时间．
点评：本题应用数学归纳法解决物理的能力，这是高考考查的重要内容之一．