题目内容
一根内径均匀，一端封闭，另一端开口的直玻璃管，长l=100cm，用一段长h=25cm的水银柱将一部分空气封在管内，将其开口朝上竖直放置，被封住的气柱长l0=62.5cm．这时外部的大气压p0=75cmHg，环境温度t0=-23℃，如图所示，现在使气柱温度缓慢地逐渐升高，外界大气压保持不变．（1）求温度升高到多少℃时，水银面恰能升到管口？
（2）试分析为保持管内水银柱不全部溢出，温度能升高的最大值，并求出这个温度下气柱的长．
分析：水银面恰能升到管口的过程中，气体做等压变化，根据盖?吕萨定律解出所需的温度；第二过程再根据理想气体状态方程整理出一元二次方程，根据数学知识求解．
解答：解：选取封闭气体为研究对象，在温度升高过程中，可分成两个过程研究．
（1）第一过程：从气体开始升温到水银升到管口，此时气体温度为T，管的横截面积为S，此过程为等压过程，根据盖?吕萨定律有：
=
整理得：T=
其中：T0=t0+273=250K
l′=75cm
l0=62.5cm．
代入数据解得：T=300（K）
t=T-273=27℃
（2）第二过程，温度达到300K时，若继续升温，水银开始溢出，设当温度升高到T′时，因水银溢出使水银减短了x，此过程气体的三个状态参量p、V、T均发生了变化．
p1=p0+h=75+25=100（cmHg）
V1=l′s=75S
T1=300K
p2=（p0+h-x）=（100-x）cmHg
V2=（75+x）S
求解：T2
根据状态方程：
=
得：
=
整理得：T2=-
x2+x+300
根据数学知识得当x=12.5m时T2取得最大值，且最大值T2max=306.25K即当管内气体温度升高到T2max=33.25℃时，管内气柱长为87.5cm．
答：（1）温度升高到27℃时，水银面恰能升到管口．
（2）气体温度升高到T2max=33.25℃时，管内气柱长为87.5cm．
（1）第一过程：从气体开始升温到水银升到管口，此时气体温度为T，管的横截面积为S，此过程为等压过程，根据盖?吕萨定律有：
| l0S |
| T0 |
| l′S |
| T |
整理得：T=
| l′ |
| T0 |
其中：T0=t0+273=250K
l′=75cm
l0=62.5cm．
代入数据解得：T=300（K）
t=T-273=27℃
（2）第二过程，温度达到300K时，若继续升温，水银开始溢出，设当温度升高到T′时，因水银溢出使水银减短了x，此过程气体的三个状态参量p、V、T均发生了变化．
p1=p0+h=75+25=100（cmHg）
V1=l′s=75S
T1=300K
p2=（p0+h-x）=（100-x）cmHg
V2=（75+x）S
求解：T2
根据状态方程：
| P1V1 |
| T1 |
| P2V2 |
| T2 |
得：
| 100×75S |
| 300 |
| (100-x)(75+x) |
| T2 |
整理得：T2=-
| 1 |
| 25 |
根据数学知识得当x=12.5m时T2取得最大值，且最大值T2max=306.25K即当管内气体温度升高到T2max=33.25℃时，管内气柱长为87.5cm．
答：（1）温度升高到27℃时，水银面恰能升到管口．
（2）气体温度升高到T2max=33.25℃时，管内气柱长为87.5cm．
点评：理想气体状态方程应用的关键是找准气体的初状态与末状态各个参量，然后根据理想气体状态方程列式求解．
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