Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧某一位置有一竖直放置的、左上角有一开口的光滑圆弧轨道MNP，其半径为R=0.5m，∠PON=53°，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离是h=0.8m。如用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块恰停止在桌面边缘D点。现换用同种材料制成的质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块能飞离桌面并恰好由P点沿切线滑入光滑圆轨道MNP(g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6).

（1）求物体m₂运动到M点时受到轨道的压力；

（2）求弹簧的弹性势能E_P；

（3）如圆弧轨道的位置以及∠PON可任意调节，使从C点释放又从D点滑出的质量为m=km₁物块都能由P点沿切线滑入圆弧轨道，并且还能通过最高点M，求k的取值范围。

Answer 1

解：

（1）设物块块由D点以初速做平抛，落到P点时其竖直速度为

                                                ………（1分）

，得                                 ………(1分)

若物块到达M点速度为, 

     解得：             …………(2分)

（或：M与D等高，由机械能守恒得：         …………（2分）

     轨道对物块的压力为F_N，则解得     ………(2分)

  （2）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，物块与桌面间的动摩擦因数为，

       释放m₁时，                                 …………(1分)

释放m₂时，,                           …………(1分)

                                                 ……(2分)

 (3)设质量为km₁的物块，到M点的最小速度为v，

，（运算中直接用到照样得分），    ………(1分)

，                                    …………(1分)

                                                     …………(1分)

                                           …………(1分)

解得：                                   …………(1分)