Question

如图左所示，边长为l和L的矩形线框aa′、bb′互相垂直，彼此绝缘，可绕中心轴O₁O₂转动，将两线框的始端并在一起接到滑环C，末端并在一起接到滑环D，C、D彼此绝缘．通过电刷跟C、D连接．线框处于磁铁和圆柱形铁芯之间的磁场中，磁场边缘中心的张角为45°，如图右所示（图中的圆表示圆柱形铁芯，它使磁铁和铁芯之间的磁场沿半径方向，如图箭头所示）．不论线框转到磁场中的什么位置，磁场的方向总是沿着线框平面．磁场中长为l的线框边所在处的磁感应强度大小恒为B，设线框aa′和bb′的电阻都是r，两个线框以角速度ω逆时针匀速转动，电阻R=2r．
（1）求线框aa′转到图右位置时感应电动势的大小；
（2）求转动过程中电阻R上的电压最大值；
（3）从线框aa′进入磁场开始，作出0～T（T是线框转动周期）时间内通过R的电流i_R随时间变化的图象；
（4）求外力驱动两线框转动一周所做的功．

Answer 1

（1）由题，线框转到磁场中的任何位置时，磁场的方向总是沿着线框平面，则线框切线感线的速度方向始终与磁感线垂直，则感应电动势的大小E=2Blv=2Blω

L

2

=BlLω．
（2）线框转动过程中，只有一个线框进入磁场切割磁感线作为电源，另一个线框与外接电阻R并联后作为外电路，则电源的内阻为r，外电路总电阻为R_外=

Rr

R+r

=

2

3

r，故R两端的电压最大值为：
   U_R=IR_外=

E

r+ 2 3 r

?

2

3

r=

2

5

BlLω
（3）aa′和bb′在磁场中，通过R的电流大小相等，
    i_R=

UR

R

=

2

5

BlLω?

1

2r

=

BlLω

5r

．
从线框aa′进入磁场开始，每转45°，即

T

8

周期时间，电流发生一次变化，作出电流的图象如图所示．
（4）每个线框作为电源时，电路中总电流为：
    I=

E

R外+r

=

E

2 3 r+r

=

3E

5r

，提供的总功率为P=EI=

3E2

5r

=

3(BlLω)2

5r

根据能量转化和守恒定律得：
    W_外=4P?

T

8

=P?

T

2

=P?

π

ω

=

3πB2l2L2ω

5r

答：（1）线框aa′转到图右位置时感应电动势的大小为BlLω．；
（2）转动过程中电阻R上的电压最大值

2

5

BlLω；
（3）从线框aa′进入磁场开始，在0～T时间内通过R的电流i_R随时间变化的图象如图所示；
（4）外力驱动两线框转动一周所做的功为

3πB2l2L2ω

5r

．