Question

两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．

Answer 1

分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等．但两者做匀速圆周运动的半径不相等．

解答：解：
设两星质量分别为M₁和M₂，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l₁和l₂．
由万有引力定律提供向心力：
对  M₁：G

M1M2

R2

=M₁（

2π

T

）² l₁…①
对M₂：G

M1M2

R2

=M₂（

2π

T

）² l₂…②
由几何关系知：l₁+l₂=R…③
三式联立解得：M_总=

4π2R3

GT2

．
答：两星的总质量为

4π2R3

GT2

点评：从动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：
　　a．M=

v2r

G

．
　　b．M=

ω2r3

G

．
　　c．M=

4π2r3

GT2

．
上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v，角速度ω，周期T时求解中心天体质量的方法．上各式中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量，r表示两天体间距离，G表示万有引力常量．利用以上方法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．
处理双星问题必须注意两点：（1）、两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）、轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）．弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误．