Question

【题目】如图所示，足够长且电阻忽略不计的两平行金属导轨固定在倾角为α=30°绝缘斜面上，导轨间距为l=0.5m。沿导轨方向建立x轴，虚线EF与坐标原点O在一直线上，空间存在垂直导轨平面的磁场，磁感应强度分布为（取磁感应强度B垂直斜面向上为正）。现有一质量为kg，边长均为l=0.5m的U形框cdef固定在导轨平面上，c点（f点）坐标为x=0。U形框由金属棒de和两绝缘棒cd和ef组成，棒de电阻为。另有一质量为kg，长为l=0.5m，电阻为的金属棒ab在离EF一定距离处获得一沿斜面向下的冲量I后向下运动。已知金属棒和U形框与导轨间的动摩擦因数均为。

（1）若金属棒ab从某处释放，且I=0.4N·s，求释放瞬间金属棒ab上感应电流方向和电势差；

（2）若金属棒ab从某处释放，同时U形框解除固定，为使金属棒与U形框碰撞前U形框能保持静止，求冲量I大小应满足的条件。

（3）若金属棒ab在x=－0.32m处释放，且I=0.4N·s，同时U形框解除固定，之后金属棒ab运动到EF处与U形框发生完全非弹性碰撞，求金属棒cd最终静止的坐标。

Answer 1

【答案】（1）感应电流方向从b到a；0.1V;（2）0.48Ns；（3）2.5m

【解析】

（1）金属棒获得冲量I后，速度为

根据右手定则，感应电流方向从b到a；

切割磁感线产生的电动势为

其中T；

金属棒ab两端的电势差为

（2）由于ab棒向下运动时，重力沿斜面的分力与摩擦力等大反向，因此在安培力作用下运动，ab受到的安培力为

做加速度减小的减速运动；由左手定则可知，cd棒受到安培力方向沿轨道向上，大小为

其中；

因此获得冲量一瞬间，cd棒受到的安培力最大，最容易发生滑动

为使线框静止，此时摩擦力沿斜面向下为最大静摩擦力，大小为

因此安培力的最大值为；

可得最大冲量为

N·s

（3）当I=0.4N·s时，金属棒获得的初速度为，其重力沿斜面分力与摩擦力刚好相等，在安培力作用下做加速度减小的减速，而U形框在碰撞前始终处于静止；

设到达EF时速度为，取沿斜面向下为正，由动量定理得

其中

解得

金属棒与U形线框发生完全非弹性碰撞，由动量守恒得

因此碰撞后U形框速度为

同理：其重力沿斜面的分力与滑动摩擦力等大反向，只受到安培力的作用，当U形框速度为v时，其感应电流为

其中，，分别为de边和ab边处的磁感应强度，电流方向顺时针，受到总的安培力为

其中，

由动量定理得

因此向下运动的距离为

此时cd边的坐标为

x=2.5m