Question

如图所示，质量不计且足够长的倒L型支架下端固定在质量为2m的木板上，在其上端O处系一长为L的轻绳，绳的下端系一质量为m的小球，小球可视为质点．整个装置在光滑的水平面上以速度v₀向右做匀速直线运动，水平面的右端为一矮墙．（重力加速度为g）
（1）若木板与墙壁相碰立即与墙壁粘合在一起，试求碰后小球上升至最高点时绳中的张力大小．（小球在运动过程中不与支架相碰）；
（2）若木板与墙壁相碰后以原速率反弹，要使绳的最大偏角不超过90°，则生产L应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）木板与墙壁相碰立即与墙壁粘合在一起，小球以速度v₀向右做圆周运动，速度v₀在不同的范围内小球的运动情况不同，分情况讨论．
（2）绳的偏角最大时，球与木板的共同速度为υ，根据动量守恒求得共同速度，再根据机械能守恒求得绳长．

解答：解：（1）当υ0≤

2gL

时，小球右摆，且设球上升到最高点时绳与竖直方向的夹角为θ≤90⁰
对小球向上摆动的过程有：mgL(1-cosθ)=

1

2

m

υ

2 0

小球在最高点时有：T=mgcosθ
解得张力：T=mg-

m υ 2 0

2L

当

2gL

＜υ0＜

5gL

时，绳松弛后小球做斜上抛运动，当小球上抛至最高点时绳仍松弛，
故张力T=0．
当υ0≥

5gL

时，小球能做完整的圆周运动，设球运动到最高点时速度为υ，对小球从最低点到最高点的过程有：

1

2

m

υ

2 0

-

1

2

mυ2=mg?2L
小球在最高点时有：T+mg=

mυ2

L

解得张力为：T=

m υ 2 0

L

-5mg
（2）若绳长为L₀时，碰后绳的最大偏角为90⁰，
绳的偏角最大时，球与木板的共同速度为υ
据动量守恒得：
2mυ₀-mυ₀=3mυ
据机械能守恒得：
mgL0=

1

2

?3m

υ

2 0

-

1

2

?3mυ2
解得：L₀=

4 υ 2 0

3g

所以当L满足 L≥

4 υ 2 0

3g

时，绳的偏角不超过90°
答：（1）若木板与墙壁相碰立即与墙壁粘合在一起，碰后小球上升至最高点时绳中的张力大小是

m υ 2 0

L

-5mg
（2）若木板与墙壁相碰后以原速率反弹，要使绳的最大偏角不超过90°，则绳长L应满足条件是L≥

4 υ 2 0

3g

^．

点评：（1）细绳带小球在竖直面内做圆周运动，小球需要向心力，根据小球获得速度的大小判断小球的运动情况．
（2）该题是把动量守恒和机械能守恒结合得综合应用．