题目内容
若宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知：该过程宇航员乘坐的返回舱至少需要获得的总能量为E（可看作是返回舱的初动能），返回舱与人的总质量为m，火星表面重力加速度为g，火星半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响．问：（1）返回舱与轨道舱对接时，返回舱与人共具有的动能为多少？
（2）返回舱在返回过程中，返回舱与人共需要克服火星引力做多少功？
分析：（1）列出万有引力充当向心力的速度表达式，在加黄金代换进行整合，可以得到动能表达式．
（2）由动能定理可以求得火星对返回舱做的功，则克服火星引力做多少功，是对这个负功的一种表达，应用其正值．
（2）由动能定理可以求得火星对返回舱做的功，则克服火星引力做多少功，是对这个负功的一种表达，应用其正值．
解答：解：（1）质量为m′的物体在火星表面：G
=m′g①
设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则：G
=m0
②
返回舱和人应具有的动能：Ek=
mv2③
联立以上三式解得：Ek=
④
（2）对返回舱在返回过程中，由动能定理知：
W=Ek-E⑤
联立④⑤解得火星引力对返回舱做功：W=
-E
故克服引力做功为-W=E-
答：
（1）返回舱与轨道舱对接时，返回舱与人共具有的动能为Ek=
（2）返回舱在返回过程中，返回舱与人共需要克服火星引力做多少功E-
| Mm′ |
| R2 |
设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则：G
| Mm0 |
| r2 |
| v2 |
| r |
返回舱和人应具有的动能：Ek=
| 1 |
| 2 |
联立以上三式解得：Ek=
| mgR2 |
| 2r |
（2）对返回舱在返回过程中，由动能定理知：
W=Ek-E⑤
联立④⑤解得火星引力对返回舱做功：W=
| mgR2 |
| 2r |
故克服引力做功为-W=E-
| mgR2 |
| 2r |
答：
（1）返回舱与轨道舱对接时，返回舱与人共具有的动能为Ek=
| mgR2 |
| 2r |
（2）返回舱在返回过程中，返回舱与人共需要克服火星引力做多少功E-
| mgR2 |
| 2r |
点评：在第二问中，求得火星的引力对返回舱做的功之后，应该知道这是一个负功，故而在表述克服这个力做的功时，应用其正值，即在原式基础上加负号，变形得最终结果．
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