题目内容
（1）如图所示，某种变速自行车有三个链轮和六个飞轮，链轮和飞轮的齿数如下表所示．该自行车的前后轮周长为2m，人脚踩踏板的转速为每秒钟1.5转．若采用的链轮和飞轮齿数分别为48和24，则该种组合下自行车行驶时的速度为6m/s
6m/s
m/s；在踏板的转速不变的情况下，通过选择不同的链轮和飞轮，该自行车行驶的最大和最小速度之比为16：5
16：5
．
（2）从离地H高处自由下落小球a，同时在它正下方H处以速度V0竖直上抛另一小球b，不计空气阻力，则小球b在上升过程中与a球相遇的条件是
v02＞gh
v02＞gh
．（3）如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r＜＜R，有一质量为m，半径比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圆管．要使小球从C端出来的瞬间，对管的内壁有压力，则初速度v0应满足的条件是
2
＜v0＜
| gR |
| 5gR |
2
＜v0＜
．| gR |
| 5gR |
分析：（1）在运动的过程中，脚踏板和链轮因为共轴，有相同的角速度，链轮的边缘和飞轮的边缘通过链条连接，有相同的线速度大小，飞轮和后轮共轴，有相同的角速度．脚踏板以恒定的角速度转动时，当链轮的齿数最多，飞轮的齿数最少，自行车的行进速度最大；当链轮的齿数最少，飞轮的齿数最多，自行车的行驶速度最小．
（2）根据位移时间公式分别求出a和b的位移大小，两物体在空中相碰，知两物体的位移之和等于H，再结合相遇的时间小于乙落地的时间，求出乙的初速度v0应满足的条件．
（3）以小球为研究对象，小球经过C点时速度不同，管壁对球的作用力大小和方向不同，分析讨论：当管壁对球无作用力时，在C点由重力提供小球的向心力，由牛顿第二定律求出在C点的速度，由机械能守恒定律求出初速v0．当初速度大于和小于临界速度时，由向心力知识分析管壁对球的作用力大小和方向．
（2）根据位移时间公式分别求出a和b的位移大小，两物体在空中相碰，知两物体的位移之和等于H，再结合相遇的时间小于乙落地的时间，求出乙的初速度v0应满足的条件．
（3）以小球为研究对象，小球经过C点时速度不同，管壁对球的作用力大小和方向不同，分析讨论：当管壁对球无作用力时，在C点由重力提供小球的向心力，由牛顿第二定律求出在C点的速度，由机械能守恒定律求出初速v0．当初速度大于和小于临界速度时，由向心力知识分析管壁对球的作用力大小和方向．
解答：解：（1）人脚踩踏板的转速为每秒钟1.5转，角速度ω=1.5rad/s，链轮和飞轮齿数分别为48和24，则飞轮的角速度为2ω=3rad/s，自行车的前后轮周长为2m根据v=ωr=2×3m/s=6m/s；速度最快时，飞轮的齿数最多，链轮的齿数最少即链轮和飞轮齿数分别为28和28，此时v=
ωr=ωr，速度最慢时，飞轮的齿数最少，链轮的齿数最多即链轮和飞轮齿数分别为48和15，此时v=
ωr，所以自行车行驶的最大和最小速度之比为：
=16：5
（2）设经过时间t甲乙在空中相碰，甲做自由落体运动的位移
h1=
gt 2①
乙做竖直上抛运动的位移 h2=v0t+
gt2②
由几何关系 h=h1+h2 ③
联立①②③解得 t=
④
设乙抛出后经过时间tmax落地，根据速度-时间关系有 tmax=
⑤
甲乙在空中相遇应满足 0＜t＜tmax ⑥
联立④⑤⑥解得 v0≥
（3）当球恰好能从C端出来时，速度vC=0．
根据机械能守恒定律得：mg?2R=
mv02
解得：v0=2
当管壁对球无作用力时，即N=0时，由mg=m
，vC=
根据机械能守恒定律得mg?2R+
mvC2=
mv02
解得：v0=
当管壁对球的作用力方向向上时，球对管壁的压力方向向下，此时2
＜V0＜
所以要使小球从C端出来的瞬间，对管的内壁有压力，2
＜V0＜
故答案为：（1）6m/s；16：5；（2）v0≥
；（3）2
＜V0＜
| 28 |
| 28 |
| 48 |
| 15 |
| ||
| ωr |
（2）设经过时间t甲乙在空中相碰，甲做自由落体运动的位移
h1=
| 1 |
| 2 |
乙做竖直上抛运动的位移 h2=v0t+
| 1 |
| 2 |
由几何关系 h=h1+h2 ③
联立①②③解得 t=
| h |
| v0 |
设乙抛出后经过时间tmax落地，根据速度-时间关系有 tmax=
| 20v |
| g |
甲乙在空中相遇应满足 0＜t＜tmax ⑥
联立④⑤⑥解得 v0≥
| gH |
（3）当球恰好能从C端出来时，速度vC=0．
根据机械能守恒定律得：mg?2R=
| 1 |
| 2 |
解得：v0=2
| gR |
当管壁对球无作用力时，即N=0时，由mg=m
| vC2 |
| R |
| gR |
根据机械能守恒定律得mg?2R+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得：v0=
| 5gR |
当管壁对球的作用力方向向上时，球对管壁的压力方向向下，此时2
| gR |
| 5gR |
所以要使小球从C端出来的瞬间，对管的内壁有压力，2
| gR |
| 5gR |
故答案为：（1）6m/s；16：5；（2）v0≥
| gH |
| gR |
| 5gR |
点评：（1）解决本题的关键知道共轴的点，有相同的角速度，通过链条连接的点，有相同的线速度大小
（2）解决本题的关键知道两物体在空中相碰，两物体的位移之和等于h，结合物体运动时间的范围，求出初始度的范围．
（3）本题是机械能守恒定律与向心力知识的结合，考查综合应用物理规律的能力．对于小球在管子里的运动情形与轻杆模型类似，关键抓住临界情况：小球恰好到最高点和在最高点恰好不受管壁作用力两种情况．
（2）解决本题的关键知道两物体在空中相碰，两物体的位移之和等于h，结合物体运动时间的范围，求出初始度的范围．
（3）本题是机械能守恒定律与向心力知识的结合，考查综合应用物理规律的能力．对于小球在管子里的运动情形与轻杆模型类似，关键抓住临界情况：小球恰好到最高点和在最高点恰好不受管壁作用力两种情况．
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