题目内容

如图，一足够长的平木板静置于水平地面上，质量为M=4kg，从某时刻开始给木板施加一水平向右的大小为20N的恒力F，使木板开始运动，经过3秒时，在木板的前端轻放一个初速度为0质量为m=4kg的小物块．已知物块与木板的摩擦因数为μ₁=0.1，木板与地面间的摩擦因数为μ₂=0.4，静摩擦因数和动摩擦因数相同，重力加速度g=10m/s²．试求：
（1）从物块放到木板上算起，最少经过多长时间木板和木块的速度相同？
（2）木块最终停在木板上什么位置？

解：
（1）物块放上木板前，木板受到地面的摩擦力f=Mgμ₂=16N
木板加速度a= $\text{[math]}$ =1m/s²
经t₀=3s加速，速度为v₀=at₀=3m/s
物块放上木板后，物块相对于木板向左滑，而木板相对于地面向右滑，此时木板对物块向右的滑动摩擦力为f₁=mgμ₁=4N
物块加速度为a₁= $\text{[math]}$ =1m/s²
而地面对木板向左的滑动摩擦力为f₂=（M+m）gμ₂=32N
木板加速度向左为a₂= $\text{[math]}$ =4m/s²
设从物块放上木板起经时间t₁两物体速度相等，则有a₁t₁=v₀-a₂t₁
代入数据得t₁=0.6s
（2）从物块放上木板到两物体速度相等，物块向右位移s₁= $\text{[math]}$ a₁t₁²=0.18m
木板向右位移s₁?=v₀ t₁- $\text{[math]}$ a₂t₁²=1.08m
物块相对木板向左滑行l₁=s₁?-s₁=0.9m
此时两物体共同速度v₁=a₁t₁=0.6m/s
若此后两物体保持相对静止，则受地面摩擦力而减速的加速度为a?=gμ₂=4m/s²
而物块受到木板摩擦力提供的加速度最大为a₁=1m/s²
所以此后两物体并不能保持相对静止，物块减速的加速度较小而相对木板向右滑行
物块减速的加速度为a₁?=a₁=1m/s²
而木板减速的加速度为a₂?= $\text{[math]}$ =2m/s²
木板停下来所需时间t₂=v₁/a₂?=0.3s
两物体速度相等到木板停止运动过程中物块滑行距离s₂=v₁ t₂- $\text{[math]}$ a₁?t₂²=0.135m
物块末速度v₂=v₁-a₁?t₂=0.3m/s
木板滑行距离s₂?=v₁t₂- $\text{[math]}$ a₂?t₂²=0.09m
物块相对木板向右滑行l₂=s₂-s₂?=0.045m
之后木板静止，木块在木板上以加速度a₁?继续减速直至停下
滑行距离l₃= $\text{[math]}$ =0.045m
综上所述，整个过程结束时物块距木板右端的距离
l=l₁-l₂-l₃=0.81m
答：（1）从物块放到木板上算起，最少经过0.6s木板和木块的速度相同．
（2）木块最终停在木板上距离木板右端0.81m的位置．
分析：（1）放上m后用隔离法分别对M和m进行受力分析根据牛顿第二定律求出两者的加速度，从而根据运动学公式求出达到速度相同的时间
（2）分阶段根据M和m的受力情况分析M和m的运动情况，再逐个阶段运用运动学公式列方程求解．
点评：本题关键是隔离法对木板和木块受力分析时正确判断木板所受的摩擦力大小和方向，难点是木块与木板间的相对运动，处理时要统一参照物．