题目内容

如图所示,水平桌面上有一轻弹簧,左端固定在A点,自然状态时其右端位于B点.水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP,其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧,MN为其竖直直径,P点到桌面的竖直距离也是R.用质量m1=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点,释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点.用同种材料、质量为m2=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放,物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t2,物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道.g=10m/s2,求:
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(1)BP间的水平距离.
(2)判断m2能否沿圆轨道到达M点.
(3)释放后m2运动过程中克服摩擦力做的功.
分析:(1)物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道,在此过程中做平抛运动,根据高度求出物块在P点竖直方向上的分速度,结合平行四边形定则求出平抛运动的初速度,从而求出平抛运动的水平位移.物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t2,知物块做初速v0=6m/s,加速度a=-4m/s2的匀减速直线运动,根据速度位移公式求出BD的距离,从而得出BP间的水平距离.
(2)对D到M运用动能定理,结合牛顿第二定律求出在M点轨道对物块的作用力,通过作用力的正负判断是否能到达M点.
(3)用质量m1=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点,释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点,知弹性势能全部克服阻力做功,用同种材料、质量为m2=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放,通过B点的速度,结合能量守恒得出弹性势能的大小.对m2从C到D点研究,根据能量守恒求出克服摩擦力做功的大小.
解答:解:(1)设物块由D点以初速vD做平抛运动,
由公式R=
1
2
gt2和vy=gt可知物块落到P点时其竖直速度为:
vy=
2gR

又知:
vy
vD
=tan45°

代入数据联立解得:vD=4m/s
平抛用时为t,水平位移为s,则:R=
1
2
gt2
,s=vDt,
解得:s=2R=1.6m.
由公式x=6t-2t2可知物块在桌面上过B点后以初速v0=6m/s、加速度a=-4m/s2减速到vD
BD间位移为:s1=
v02-vD2
2a
=
36-16
2×4
m=2.5m

则BP水平间距为:s+s1=1.6+2.5m=4.1m
(2)若物块能沿轨道到达M点,其速度为vM,则:
1
2
m2vM2=
1
2
m2vD2-
2
2
m2gR

轨道对物块的压力为FN,则:FN+m2g=m2
vM2
R

解得:FN=(1-
2
)m2g<0

即物块不能到达M点
(3)设弹簧长为AC时的弹性势能为EP,物块与桌面间的动摩擦因数为μ,
释放m1时,Ep=μm1gsCB
释放m2时,Epm2gsCB+
1
2
m2v02

且m1=2m2,可得Ep=m2v02=7.2J
m2在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf
则:Ep=Wf+
1
2
m2vD2

可得Wf=5.6J      
答:(1)BP间的水平距离为4.1m.
(2)m2不能沿圆轨道到达M点.
(3)释放后m2运动过程中克服摩擦力做的功为5.6J.
点评:本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律,涉及到直线运动、平抛运动和圆周运动,综合性较强,关键是理清物块的运动情况,选择合适的规律进行求解.
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