Question

15．如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C，D为圆轨道的最低点和最高点），且∠BOC=θ=37°，圆轨道直径d为0.4m．可视为质点，质量m=0.1kg的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）求：

（1）刚好能通过圆轨道最高点D的高度H；
（2）若用压力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，求出压力F与高度H的关系式，并在图乙中绘制出二者的关系图象．
（3）通过计算判断是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．

Answer 1

分析 （1）滑块在圆轨道上做圆周运动，应用牛顿第二定律与 机械能守恒定律可以求出高度．
（2）应用牛顿第二定律与机械能守恒定律求出H的表达式，然后作出图象．
（3）滑块离开D后做平抛运动，应用平抛运动规律和几何关系分析答题．

解答 解：（1）滑块从A运动到D的过程，由机械能守恒得：$mg（{H_1}-d）=\frac{1}{2}m{v_{D1}}^2$
且在D点满足：$mg=m\frac{{{v_{D1}}^2}}{R}$   得：${v_{D1}}=\sqrt{2}m/s$，${H_1}=\frac{5}{4}d=0.5m$
（2）在D点满足$F+mg=m\frac{{{v_D}^2}}{R}$
滑块从A运动到D的过程，由机械能守恒得：$mg（H-d）=\frac{1}{2}m{v_D}^2$
得：F=10H-5，则F-H图象如图所示：

（3）假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点（如图所示）
从D到E过程滑块做平抛运动，则有：$OE=\frac{{\frac{d}{2}}}{sin37°}$
又  OE=v_D2t，$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}g{t^2}$
得到：${v_{D2}}=\frac{5}{3}m/s$
而滑块过D点的临界速度为：${v_{D1}}=\sqrt{2}m/s$
由于：v_D2＞v_D1所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点
滑块从A运动到D的过程，由机械能守恒得：$mg（H-d）=\frac{1}{2}m{v_D}^2$
得到：$H=\frac{97}{18}m≈0.54m$

答：
（1）刚好能通过圆轨道最高点D的高度H是0.5m．
（2）压力F与高度H的关系式为 F=10H-5，F-H图象如图所示．
（3）存在，且H为0.54m．

点评 本题考查了牛顿第二定律与机械能守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程，关键要把握圆周运动的临界条件，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律即可正确解题．