题目内容
（2012?佛山一模）如图甲，ABC为竖直放置的半径为0.1m的半圆形轨道，在轨道的最低点和最高点A、C各安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧，通过这两点时对轨道的压力FA和FC．质量为0.1kg的小球，以不同的初速度v冲入ABC轨道．（g取10m/s2）
（1）若FC和FA的关系图线如图乙所示，求：当FA=13N时小球滑经A点时的速度vA，以及小球由A滑至C的过程中损失的机械能；
（2）若轨道ABC光滑，小球均能通过C点．试推导FC随FA变化的关系式，并在图丙中画出其图线．
（1）若FC和FA的关系图线如图乙所示，求：当FA=13N时小球滑经A点时的速度vA，以及小球由A滑至C的过程中损失的机械能；
（2）若轨道ABC光滑，小球均能通过C点．试推导FC随FA变化的关系式，并在图丙中画出其图线．
分析：（1）由牛顿第三定律：小球在A、C两点所受轨道的弹力大小与小球对轨道的压力大小相等．小球经过A、C两点时，由重力和轨道对小球的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球经过两点的速度大小，根据动能定理求出从A到C的过程中摩擦力做功，小球损失的机械能等于克服摩擦力做功．
（2）若轨道ABC光滑，小球由A至C的过程中机械能守恒，可列出小球经过AC两点的速度关系，再由牛顿第二定律得到FC随FA变化的关系式，画出图线．
（2）若轨道ABC光滑，小球由A至C的过程中机械能守恒，可列出小球经过AC两点的速度关系，再由牛顿第二定律得到FC随FA变化的关系式，画出图线．
解答：
解：（1）由牛顿第三定律可知，小球在A、C两点所受轨道的弹力大小NA=FA，NC=FC
在A点，由牛顿第二定律得：NA-mg=
…①
解得vA=2
m/s…②
在C点，由牛顿第二定律得：NC+mg=
…③
对A至C的过程，由动能定理得：Wf-mg?2R=
m
-
m
…④
①②③联立得Wf=
m
-
m
+2mgR=
(2mg-FA+FC)R+2mgR…⑤
解得Wf=-0.2J…⑥
故由功能关系得，损失的机械能为0.2J
（2）因轨道光滑，小球由A至C的过程中机械能守恒，则有
m
=
m
+mg?2R…⑦
联立①③⑥得NA-NC=6mg
即FC=FA-6N…⑧
图线如右图所示…⑨
答：（1）当FA=13N时小球滑经A点时的速度vA为2
m/s，小球由A滑至C的过程中损失的机械能是0.2J；
（2）FC随FA变化的关系式为FC=FA-6N，在图丙中画出其图线如图所示．
解：（1）由牛顿第三定律可知，小球在A、C两点所受轨道的弹力大小NA=FA，NC=FC在A点，由牛顿第二定律得：NA-mg=
m
| ||
| R |
解得vA=2
| 3 |
在C点，由牛顿第二定律得：NC+mg=
m
| ||
| R |
对A至C的过程，由动能定理得：Wf-mg?2R=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 C |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 A |
①②③联立得Wf=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 C |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 A |
| 1 |
| 2 |
解得Wf=-0.2J…⑥
故由功能关系得，损失的机械能为0.2J
（2）因轨道光滑，小球由A至C的过程中机械能守恒，则有
| 1 |
| 2 |
| v | 2 A |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 C |
联立①③⑥得NA-NC=6mg
即FC=FA-6N…⑧
图线如右图所示…⑨
答：（1）当FA=13N时小球滑经A点时的速度vA为2
| 3 |
（2）FC随FA变化的关系式为FC=FA-6N，在图丙中画出其图线如图所示．
点评：圆周运动动力学问题中，向心力知识往往与动能定理或机械能守恒综合，抓住速度是联系它们之间的纽带．
练习册系列答案
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