Question

7．如图所示，一根长0.1m的细线，一端系着一个质量为0.18kg的小球，拉住线的另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动．如果小球的转速缓慢地增加到开始时转速的3倍时细线断开，细线断开前的瞬间受到的拉力比开始时大40N，求：
（1）细线断开前的瞬间小球受到的拉力大小；
（2）线断开的瞬间，小球运动的线速度大小；
（3）如果小球离开桌面时，速度方向恰好与桌面边线垂直，桌面高出地面0.8m，求：小球飞出后的落地点距桌边线的水平距离．

Answer 1

分析 （1）线末断开前，由线的拉力提供向心力．由题意：小球的转速增加到开始时转速的3倍时细线断开，根据向心力公式可得到线断开时线的拉力与原来拉力的倍数；结合条件：线断开前的瞬间线的拉力比开始时大40N，即可求出线断开前的瞬间，线的拉力大小．
（2）由向心力公式F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$求出小球的速度大小．
（3）小球离开桌面后做平抛运动，由高度求出时间，并求出平抛运动的水平位移，根据所求的距离与水平位移的数学关系求解．

解答 解：（1）线的拉力等于向心力，设开始时角速度为ω₀，向心力是F₀，线断开的瞬间，角速度为ω，线的拉力是F．
则有：${F}_{0}=m{{ω}_{0}}^{2}R$…①
F=mω²R…②
由①②得：$\frac{F}{{F}_{0}}=\frac{9}{1}$…③
又因为F=F₀+40N…④
由③④得：F=45N
（2）设线断开时速度为v
由$F=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：v=$\sqrt{\frac{FR}{m}}$=5m/s
（3）设桌面高度为h，小球落地经历时间为t．
根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}=0.4s$
小球飞出后的落地点距桌边线的水平距离x=vt=5×0.4=2m
答：（1）细线断开前的瞬间小球受到的拉力大小为45N；
（2）线断开的瞬间，小球运动的线速度大小为5m/s；
（3）小球飞出后的落地点距桌边线的水平距离为2m．

点评 对于匀速圆周运动，基本方程是“指向圆心的合力”等于向心力，即F_合=F_n，关键分析向心力的来源，知道小球离开桌面后做平抛运动，难度适中．