Question

有一匀强磁场区域，区域的上下边界MM′、NN′与水平面平行，磁场的磁感应强度为B，方向如图所示，磁场上下边界的距离为H．一矩形线圈abcd位于竖直平面内，其质量为m，电阻为R，ab边长L₁，bd边长L₂，且L₂＜H．现令线框从离磁场区域上边界MM′的距离为h处自由下落，当cd边已进入磁场，ab边还未进入磁场的某一时刻，线框的速度已到达其完全进入磁场前的最大值，线框下落过程中cd边始终与磁场边界平行．试求：
（1）线框完全进入磁场前速度的最大值；
（2）从线框开始下落到cd边刚刚到达磁场区域下边界NN′的过程中，磁场作用于线框的安培力所做的功；
（3）线框cd边刚穿出磁场区域下边界NN′时线框的加速度．

Answer 1

分析：（1）线框进入磁场的过程中，当其重力与安培力相等时，速度达到最大；
（2）线框进入磁场的过程中分为两个过程，一是开始做加速度逐渐减小的加速运动，直到达到最大速度，二是做匀速运动，直到cd边到达磁场区域下边界NN′，然后根据功能关系列方程求解；
（3）线框受重力和安培力作用，根据牛顿第二定律列方程可以正确求解．

解答：解：（1）设速度大小为v₁，此时线框的重力和线框ab边受到的安培力平衡，令此时线框中的电流强度为I₁，应有
BI₁L₁=mg
I1=

BL1v1

R

故：v1=

mgR

B2 L 2 1

．
答：线框完全进入磁场前速度的最大值为：v1=

mgR

B2 L 2 1

．
（2）设线框达到速度v₁时，cd边进入磁场的深度为h₁，从下落到此时安培力对线框做功为W₁．对于线框由动能定理，得：
mg(h+h1)+W=

1

2

m

v

2 1

    …①
线框从有速度v₁到完全进入磁场时，线框作匀速运动，此过程中安培力对线框做功W₂，由动能定理有：
mg（L₂-h₁）+W₂=0…②
从线框完全进入磁场到cd边刚到磁场区域下边界NN'的过程中，线框中无电流，故此过程中安培力对线框所做的功为零，所以整个过程中磁场作用于线框的安培力所做的总功为
W_安=W₁+W₂…③
由①、②、③式
可得，W_安=

1

2

m

v

2 1

-mg(h+L2)=

m3g2R2

2B4 L 4 1

-mg(h+L2)…④
答：磁场作用于线框的安培力所做的功为W_安=

1

2

m

v

2 1

-mg(h+L2)=

m3g2R2

2B4 L 4 1

-mg(h+L2)．
（3）设线框的cd边刚刚穿出磁场区域下边界NN'时线框的速度v₂，则从线框刚下落到cd边穿出磁场的整个过程中，由动能定理，可得：
mg（h+H）+W_安=

1

2

m

v

2 2

-0…⑤
由④、⑤式解得：v2=

2g(H-L2)+ m2g2R2 B4 L 4 1

 …⑥
线框的cd边刚出磁场时只有ab边切割磁感线，使线框中产生感应电流，导致ab边受到向上的安培力，设此时线框的加速度为a，且设向下的方向为正方向，则由电磁感应定律及牛顿第二定律，有：mg-BL1

BL1v2

R

=ma…⑦
由 ⑥、⑦式可解得：
a=g-

2gB4 L 4 1 (H-L2) m2R2 +g2

＜0
所以所求加速度大小a=

2gB4 L 4 1 (H-L2) m2R2 +g2

-g，方向竖直向上．
答：线框cd边刚穿出磁场区域下边界NN′时线框的加速度大小为a=

2gB4 L 4 1 (H-L2) m2R2 +g2

-g，方向竖直向上．

点评：本题是电磁感应中的力学问题，考查电磁感应、动能定理、平衡条件等知识综合应用和分析能力．