Question

17．2014年12月14日，北京飞行控制中心传来好消息，嫦娥三号探测器平稳落月．嫦娥三号接近月球表面过程可简化为三个阶段：一、距离月球表面一定的高度以v=1.7km/s的速度环绕运行，此时，打开七千五百牛顿变推力发动机减速，下降到距月球表面H=100米高处时悬停，寻找合适落月点；二、找到落月点后继续下降，距月球表面h=4m时速度再次减为0；三、此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面．已知嫦娥三号着陆时的质量为1200kg，月球表面重力加速度g′为1.6m/s²，月球半径为R，引力常量G，（计算保留2位有效数字）求：
（1）月球的质量（用g′、R、G字母表示）
（2）从悬停在100米处到落至月球表面，发动机对嫦娥三号做的功？
（3）从v=1.7km/s到悬停，若用10分钟时间，设轨迹为直线，则减速过程的平均加速度为多大？若减速接近悬停点的最后一段，以平均加速度在垂直月面的方向下落，求此时发动机的平均推力为多大？

Answer 1

分析 （1）嫦娥三号卫星在月球表面受到的重力等于万有引力，由此求出月球质量．
（2）应用动能定理可以求出发动机对嫦娥三号做的功．
（3）嫦娥三号从v=1.7km/s到悬停，视为匀减速运动，根据加速度定义求加速度，由牛顿第二定律求出发电机对它的作用力．

解答 解：（1）根据在星体表面重力等于万有引力知m g′=$G\frac{mM}{{R}^{2}}$，
解得M=$\frac{g′{R}^{2}}{G}$；
（2）由100m下降过程中到4m前发动机会做功，取100m和4m为初末状态，前后动能没变，
根据动能定理列式    mg′（H-h）+W=0
所以：W=-mg′（H-h）=-1200×1.6×96J=-1.8×10⁵ J    
即发动机做功为-1.8×10⁵ J；
（3）由加速度定义知a=$\frac{v}{t}$=$\frac{1700}{60×10}m/{s}^{2}$=2.8 m/s²                                  
由牛顿第二定律知F=m（a+g'）=5300 N 
答：（1）月球的质量M为$\frac{g′{R}^{2}}{G}$；
（2）从悬停在100米处到落至月球表面，发动机对嫦娥三号做的功-1.8×10⁵ J
（3）从v=1.7km/s到悬停，若用10分钟时间，设轨迹为直线，则减速过程的平均加速度为2.8 m/s²，若减速接近悬停点的最后一段，以平均加速度在垂直月面的方向下落，此时发动机的平均推力5300N．

点评 本题难度不大，应用万有引力定律、平衡条件、动能定理即可正确解题，注意做功的正负．