Question

经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理。

现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

（1）试计算该双星系统的运动周期T_计算。

（2）若实验中观测到的运动周期为T_观测，且T_观测∶T_计算=1∶ （N＞1）。

为了理解T_观测与T_计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质。若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

Answer 1

（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，两者之间的万有引力提供向心力，所以得：M=，解得速度：v=，所以得到双星的周期为T_计算==πL。

（2）根据观测结果，星体的运动周期

T_观测=T_计算＜T_计算。

这种差异是由双星系统（类似一个球）内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布双星系统内的暗物质对双星系统的作用，与一质点（质点的质量等于球内暗物质的总质量M′且位于中点O处）的作用相同。考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v₁，则有：M， v₁=，因为周长一定时，周期和速度成反比，由上式得：·，把以上各式联立可以解得：M′=M，设所求暗物质的密度为ρ，则有：π（）³ρ=M，所以得到：ρ=。