Question

【题目】用静电的方法来清除空气中的灰尘，需要首先设法使空气中的灰尘带上一定的电荷，然后利用静电场对电荷的作用力，使灰尘运动到指定的区域进行收集。为简化计算，可认为每个灰尘颗粒的质量及其所带电荷量均相同，设每个灰尘所带电荷量为q，其所受空气阻力与其速度大小成正比，表达式为F阻=kv（式中k为大于0的已知常量）。由于灰尘颗粒的质量较小，为简化计算，灰尘颗粒在空气中受电场力作用后达到电场力与空气阻力相等的过程所用的时间及通过的位移均可忽略不计，同时也不计灰尘颗粒之间的作用力及灰尘所受重力的影响。

（1）有一种静电除尘的设计方案是这样的，需要除尘的空间是一个高为H的绝缘圆桶形容器的内部区域，将一对与圆桶半径相等的圆形薄金属板平行置于圆桶的上、下两端，恰好能将圆桶封闭，如图10甲所示。在圆桶上、下两金属板间加上恒定的电压U（圆桶内空间的电场可视为匀强电场），便可以在一段时间内将圆桶区域内的带电灰尘颗粒完全吸附在金属板上，从而达到除尘的作用。求灰尘颗粒运动可达到的最大速率 __________；

（2）对于一个待除尘的半径为R的绝缘圆桶形容器内部区域，还可以设计另一种静电除尘的方案：沿圆桶的轴线有一根细直导线作为电极，紧贴圆桶内壁加一个薄金属桶作为另一电极。在直导线电极外面套有一个由绝缘材料制成的半径为R0的圆桶形保护管，其轴线与直导线重合，如图10乙所示。若在两电极间加上恒定的电压，使得桶壁处电场强度的大小恰好等于第（1）问的方案中圆桶内电场强度的大小，且已知此方案中沿圆桶半径方向电场强度大小E的分布情况为E∝1/r，式中r为所研究的点与直导线的距离。

①试通过计算分析，带电灰尘颗粒从保护管外壁运动到圆桶内壁的过程中，其瞬时速度大小v随其与直导线的距离r之间的关系________；

②对于直线运动，教科书中讲解了由v - t图象下的面积求位移的方法。请你借鉴此方法，利用v随r变化的关系，画出1/v随r变化的图象，根据图象的面积求出带电灰尘颗粒从保护管外壁运动到圆桶内壁的时间____________。

Answer 1

【答案】

【解析】（1）圆桶形容器内的电场强度 灰尘颗粒所受的电场力大小 ，

电场力跟空气的阻力相平衡时，灰尘达到的最大速度，并设为v1，

则有

解得

（2）①由于灰尘颗粒所在处的电场强度随其与直导线距离的增大而减小，且桶壁处的电场强度为第（1）问方案中场强的大小E1=U/H，设在距直导线为r处的场强大小为E2，

则，解得E2=

故与直导线越近处，电场强度越大。设灰尘颗粒运动到与直导线距离为r时的速度为v，则 kv=qE2

解得

上式表明，灰尘微粒在向圆桶内壁运动过程中，速度是逐渐减小的。

②以r为横轴，以1/v为纵轴，作出1/v-r的图象如图所示。

在r到r+Δr微小距离内，电场强度可视为相同，其速度v可视为相同，对应于Δr的一段1/v-r的图线下的面积为，显然，这个小矩形的面积等于灰尘微粒通过Δr的时间。所以，灰尘微粒从保护管外壁运动到圆桶内壁所需的总时间t2等于从R0到R一段1/v-r的图线下的面积。

所以灰尘颗粒从保护管外壁运动到圆桶内壁的时间：