Question

4．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，某行星的质量约为地球的9倍，半径约为地球的2倍，试求：
（1）该行星表面的重力加速度为多少？（忽略星球的自转）
（2）该星球的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？
（3）若该行星自转周期为T，该行星的同步卫星的轨道半径为多少？

Answer 1

分析 由重力加速度的表达式及行星与地球的质量之比，半径之比求得重力加速度之比．由第一宇宙速度表达式及行星与地球的质量之比、半径之比求得第一宇宙速度．

解答 解：（1）在表面由重力等于万有引力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比：
$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{行}}{{R}_{行}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{{M}_{行}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}{R}_{行}^{2}}$=$\frac{9{M}_{地}}{{M}_{地}}$×（$\frac{{R}_{地}}{{2R}_{地}}$）²=$\frac{9}{4}$，
行星的重力加速度：g_行=$\frac{9}{4}$g；
（2）第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
某行星上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比：
$\frac{{v}_{行}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{行}}{{R}_{行}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{行}{R}_{地}}{{M}_{地}{R}_{行}}}$=$\sqrt{\frac{9{M}_{地}}{{M}_{地}}×\frac{{R}_{地}}{{2R}_{地}}}$=$1.5\sqrt{2}$，
所以这行星的第一宇宙速度：v_行=$1.5\sqrt{2}$v_地．
（3）该行星自转周期为T，根据万有引力提供向心力得：
$\frac{G{M}_{行}m}{{r}_{行}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}•{r}_{行}$
得：${r}_{行}=\root{3}{\frac{G{M}_{行}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}=\root{3}{\frac{9G{M}_{地}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{9g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
答：（1）该行星表面的重力加速度为$\frac{9}{4}g$；
（2）该星球的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$1.5\sqrt{2}$倍；
（3）若该行星自转周期为T，该行星的同步卫星的轨道半径为$\root{3}{\frac{9g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

点评 本题关键是根据第一宇宙速度的表达式列式求解，其中第一宇宙速度为贴近星球表面飞行的卫星的环绕速度！