Question

一物体以一定的初速沿斜面向上运动，设它沿斜面向上能达到的最大位移为x．若斜面倾角不同时对应的最大位移x与斜面倾角α的关系如图所示，α可在0°～90°之间变化（g=10m/s²）．求：
（1）根据α=0°和α=90°得到的x的特殊值，能够得到哪些有用的结论？
（2）当α=60°时，物体到达最高点后，又回到出发点时，物体速度为多少？
（3）当α为多大时，x有最小值？这最小值为多大？

Answer 1

分析：（1）物体沿斜面向上做匀减速直线运动，由牛顿第二定律和运动学结合，分别得出0°和90°时物体沿斜面上升的最大位移s与斜面倾角θ的关系表达式，即可求出动摩擦因数和初速度；
（2）先求出α=60°时物体上升的高度，然后由动能定理求出物体返回时的速度；
（3）由动能定理得到x与θ的关系式，运用数学知识求解最小值及达到最小值的条件．

解答：解：（1）当α=90°时，物体做竖直上抛运动，2g （1.25

3

）=

v

2 0

，得到v₀=5m/s；
当α=0°时，由2a（1.25

3

）=

v

2 0

和a=μg，可得：μ=

3

3

；
（2）当α=60°时，物体上向滑行过程中，mgsin60°+μmgcos60°=ma₁；
得到a₁=

20

3

3

 m/s²，则物体上行的最大距离为x=

v 2 0

2a1

=

5

8

3

m；
物体下滑过程中，mgsin60°-μmgcos60°=ma₂，得到a₂=

10

3

3

m/s²；
物体回到出发点时速度为：v²=2 a₂x=

25

2

，v=

5

2

2

m/s；
（3）对某一角度α，物体上向滑行过程中，mgsinα+μmgcosα=ma，
加速度a=g（sinα+μcosα）；
上行的最大距离为x=

v 2 0

2a

=

v 2 0

2g(sinα+μcosα)

；
根据辅助角公式：asinα+bcosα=

a2+b2

sin（α+φ），其中tanφ=

b

a

，
可以得到：tanφ=μ=

3

3

，φ=30°和sinα+μcosα=

1+μ2

sin（α+30°）；
当α=60°时，sin（α+30°）=1，x=

v 2 0

2a 1+μ2

最小，代入v和μ的值，x=

5

8

3

m最小．
答：（1）根据α=0°和α=90°得到的x的特殊值，能够得到动摩擦因素和初速度；
（2）当α=60°时，物体到达最高点后，又回到出发点时，物体速度为

5

2

2

m/s；
（3）当α为60°时，x有最小值，这最小值为

5

8

3

m．

点评：本题关键是根据动能定理求出位移的一般表达式，然后结合图象求出初速度和动摩擦因素，再用解析法求出位移的最小值．