Question

12．如图所示，在水平地面上放置一块质量为M的长平板B，在平板的上方某一高度处有一质量为m的物块P由静止开始落下．在平板上方附近存在“相互作用”的区域（如图中虚线所示区域），当物块P进入该区域内，B便会对P产生一个竖直向上的恒力f作用，使得P恰好不与B的上表面接触，且f=kmg，其中k=11．在水平方向上P、B之间没有相互作用力．已知平板与地面间的动摩擦因数μ=2.0×10^-3，平板和物块的质量之比$\frac{M}{m}$=10．在P开始下落时，平板B向左运动的速度v₀=1.0m/s，P从开始下落到进入相互作用区域经历的时间t₀=2.0s．设平板B足够长，保证物块P总能落到B板上方的相互作用区域内，忽略物块P受到的空气阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物块P从开始下落到再次回到初始位置所经历的时间．
（2）从物块P开始下落到平板B的运动速度减小为零的这段时间内，P能回到初始位置的次数．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的公式求出物体P进入相互作用区域时的速度大小，结合牛顿第二定律求出进入相互作用区域的加速度，通过运动学公式，抓住运动的对称性求出物块P从开始下落到再次回到初始位置所经历的时间．
（2）根据动量定律求出在一个周期内动量的变化量，得出速度的变化量，从而通过整个过程中速度的变化量求出物块P开始下落到平板B的运动速度减小为零的这段时间内，P能回到初始位置的次数．

解答 解：（1）物块P进入相互作用区域时的速度为V₁，则
v₁=gt₀=20m/s
物块P从进入相互作用区域到速度减小为零的过程中，受到重力和平板的相互作用，设物块在相互作用区域内的下落的加速度为a，根据牛顿第二定律：
kmg-mg=ma
设在相互作用区域内的下落时间为t，根据运动学公式
t=$\frac{{v}_{1}}{a}$
而物块从开始下落到回到初始位置的时间
T=2（t+t₀）=$\frac{2k}{k-1}$t₀=4.4s．
（2）设在一个运动的周期T内，平板B的速度减小量为△v，根据动量定理有
μMg•2t₀+μ（Mg+f）•2t=M△v
解得：
△v=$\frac{2μgk{t}_{0}（1+\frac{m}{M}）}{k-1}$=9.7×10^-3m/s．
P回到初始位置的次数：
n=$\frac{{v}_{0}}{△v}$=10.3，
n应取整数，即n=10．
答：（1）物块P从开始下落到再次回到初始位置所经历的时间为4.4s．
（2）从物块P开始下落到平板B的运动速度减小为零的这段时间内，P能回到初始位置的次数为10．

点评 本题综合考查了动量定理、牛顿第二定律、运动学公式等，综合性较强，难度中等，需加强这类题型的训练．