Question

如图甲所示，光滑的水平地面上固定一长为L＝1.7 m的长木板C,板的左端有两个可视为质点的物块A和B，其间夹有一根长为1.0 m的轻弹簧，弹簧没有形变，且与物块不相连。已知m_a=m_c=20 kg,m_b=40 kg，A与木板C、B与木板C的动摩擦因数分别为μ_a=0.50和μ_b=0.25。假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。现用水平力F作用于A，让F从零开始逐渐增大，并使B缓慢地向右移动0.5 m，使弹簧储存了弹性势能E₀ 。

      

甲                                   乙

（1）若弹簧的劲度系数为k＝200 N/m，以作用力F为纵坐标，物块A移动的距离为横坐标，试通过定量计算在图乙的坐标系中画出推力F随物块A位移的变化图线。

（2）求弹簧储存的弹性势能E₀的大小。

（3）当物块B缓慢地向右移动了0.5 m后，保持A、B两物块间距不变，将其间夹有的弹簧更换，使得压缩量相同的新弹簧储存的弹性势能为12E₀，之后同时释放三物体A、B和C，已被压缩的轻弹簧将A、B向两边弹开，求哪一物块先被弹出木板C？最终C的速度是多大？

Answer 1

解：（1）A与C间的摩擦力为

f_a=μ_am_ag=0.5×20×10 N=100 N

B与C间的摩擦力为

f_b=μ_bm_bg=0.25×40×10 N=100 N

推力F从零逐渐增大，当增大到100 N时，物块A开始向右移动压缩弹簧（此时B仍然保持静止），设压缩量为x，则力F=f_a+kx 

当x=0.5 m时，力F=f_a+f_b=200 N,此时B将缓慢地向右移动。

B移动0.5 m后，B距离木板C的右端0.2 m，A离开木板C端0.1 m。

作出力F随A位移的变化图线如图所示。

（2）在物块B移动前，力F作用于物块A，压缩弹簧使弹簧储存了弹性势能E₀，物块A移动了s=0.5 m,此后物块AB以相同的速度向右移动，弹簧储存的弹性势能不变。设物块A开始移动0.5 m的过程中，力F做功W，由能量守恒有

E₀=W－f_as=×0.5 J－100×0.5 J=25 J。①

（3）撤去力F之后，AB两物块给木板C的摩擦力的合力为零，故在物块AB滑离木板C之前，C仍静止不动。物块AB整体所受外力的合力也为零，其动量守恒，可得m_Av_A=m_Bv_B

由题可知，始终有v_A∶v_B=m_B∶m_A=2∶1②

当物块B在木板C上向右滑动了0.2 m，物块A则向左滑动了0.4 m，但A离木板C的左端还有d=0.6 m 。可见，物块B先滑离木板C。

并且两物体的相对位移Δs=0.4 m+0.2 m=0.6 m＞0.5 m（弹簧的压缩量），弹簧储存的弹性势能已全部释放，由能量守恒定律有

12E₀=m_av_a²+m_bv_b²+f_a·Δs③

由①②③式求出物块B滑离木板C时A物块的速度为v_a=4 m/s④

设此后A滑离木板C时，物体A的速度为v_A′，木板C的速度为v_C′，由动量守恒定律有

m_Av_A=m_Av_A′+m_Cv_C′²）⑤

由能量守恒有

f_A×d=m_Av_A²-(m_A v_A′²+m_C v_C′²）⑥

将d=0.6 m及有关数据代入⑤⑥式解得

v_C′=1 m/s（v_C ′=3 m/s不合题意舍弃）。