题目内容

一弹性小球自h₀=5m高处自由落下，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰前的 $数学公式$ ，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的时间．

解：小球第一次落地时速度为
v₀= $\text{[math]}$ =10m/s
由题小球第2，3，4…（n+1）次落地时速度分别为
v₁= $\text{[math]}$
v₂= $\text{[math]}$
v₃= $\text{[math]}$
…
v_n= $\text{[math]}$
小球第1下落时间为
t₀= $\text{[math]}$ =1s
小球从第1次与地面相撞到第2次与地面相撞经过的时间为
t₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ s
小球从第2次与地面相撞到第3次与地面相撞经过的时间为
t2= $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ s
小球从第3次与地面相撞到第4次与地面相撞经过的时间为
t₃= $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ s
…
由数学归纳推理得
小球从第n次与地面相撞到第（n+1）次与地面相撞经过的时间为
t_n=2× $\text{[math]}$
所以小球运动的总时间为
t=t₁+t₂+t₃+…+t_n=1s+2×（（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）³+…+（ $\text{[math]}$ ）ⁿ）s
=1s+2× $\text{[math]}$ s=8s
答：小球从开始下落到停止运动所经过的时间是8s．
分析：小球自h₀=5m高处自由落下，求出第一次落地时的速度，由题得到第二、三、四…次落地的速度．第一次小球做自由落体运动，以后撞地后，小球做竖直上抛运动，由t= $\text{[math]}$ 求竖直上抛的时间，根据规律，由数学知识求解总时间．
点评：本题应用数学归纳法解决物理的能力，这是高考考查的重要内容之一．