Question

“嫦娥一号”正在探测月球，若把月球和地球都视为质量均匀的球体，已知地球和月球的半径之比

r1

r2

=

1

3.6

6，月球表面和地球表面的重力加速度之比

g1

g2

=

1

6

，求：
（1）月球和地球的密度之比

ρ1

ρ2

（保留两位有效数字）
（2）若取月球半径r₁=1.7×10³km，月球表面处重力加速度g₁=1.6m/s²，设想今后开发月球的需要而设法使月球表面覆盖一层一定厚度的大气层，使月球表面附近的大气压也等于p₀=1.0×10⁵Pa，且大气层厚度比月球半径小得多，试估算应给月球表面添加的大气层的总质量M．（保留两位有效数字）

Answer 1

分析：（1）根据物体的重力约等于其万有引力，可得到月球与地球的质量之比，再质量与体积之比求出密度之比．
（2）大气层厚度比月球半径小得多，可认为大气紧贴月球表面，大气层稳定时，大气压强从宏观上看等于大气重力在单位月球表面的压力．

解答：解：（1）设月球质量为M₁，地球质量为M₂，则质量为m的物体分别在月球和地球表面时的重力与万有引力相等，有：
   G

M1m

r 2 1

=mg₁
   G

M2m

r 2 2

=mg₂
又由于M₁=ρ₁

4

3

π

r

3 1

，M₂=ρ2

4

3

π

r

3 2

由以上各式解得：

ρ1

ρ2

=

g1r2

g2r1

=

1×3.6

6×1

=0.6
（2）月球表面大气压强产生的向上的压力与大气层的重力使大气层平衡，则：
  Mg₁=p₀?4π

r

2 1

解得：M=

p04π r 3 1

g1

代入解得，M=2.3×10¹⁸kg
答：
（1）月球和地球的密度之比

ρ1

ρ2

为0.6．
（2）月球表面大气层的总质量M是2.3×10¹⁸kg．

点评：根据天体的半径和表面重力加速度，根据重力等于万有引力，求天体的质量是基本题型．