Question

6．竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，则下述不正确的是（　　）

• A． 小球到达C点时对轨道的压力是$\frac{4mg}{5}$
• B． 此球的最大速率是$\sqrt{6}$v_c
• C． 小球在任一直径两端点上的动能之和相等
• D． 小球沿圆轨道绕行一周所用的时间等于$π\sqrt{\frac{5R}{g}}$

Answer 1

分析 因为圆环轨道是光滑的，只有重力做功，所以机械能守恒，可以求得在最低点时的最大速度；
对物体受力分析，根据圆周运动的向心力公式可以求得对轨道的作用力，由周期公式可以知道物体运动的周期．

解答 解：A、在C点有：mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得：N=$\frac{1}{5}$mg，小球到达C点时对轨道的压力为：N′=N=$\frac{1}{5}$mg，故A错误．
B、速度最大的点应该是最低点时，根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mvc²=2mgR，解得最大速率为：v=$\sqrt{\frac{24gR}{5}}$=$\sqrt{6}$v_c，故B正确．
B、整个过程中机械能守恒，在任一直径两端点上的点，它们的高度之和都是2R，即它们的重力势能的和相等，由于总的机械能守恒，所以它们的动能之和也相等，故C正确．
C、D、由周期T=$\frac{2πR}{v}$，当圆环以速度最小v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$做匀速圆周运动时周期最小，v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$代入T=$\frac{2πR}{v}$，计算可得T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，由于小球离开最高点后速度在变大，所以T要减小，所以T＜T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，故D错误．
本题选错误的，故选：AD．

点评 小球穿在圆环轨道上做圆周运动，属于杆的模型，在最高点时速度最小，向心力最小，最低点时速度最大，向心力最大，由机械能守恒可以求它们之间的关系．