题目内容
（2013?浙江模拟）如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压U，且当U大于零时，上极板电势比下极板高．金属板板长L=0.2m，板间距离d=O.2m．在金属板右侧，紧挨着金属板边缘有一个足够长的匀强磁场区域，其边界为直线MN和PQ，MN、PQ均与两板中线OO′垂直，磁感应强度B=1.25×10-2T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度大小为v0=105m/s，比荷
=108C/kg，重力忽略不计．在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变，不考虑因电场变化对带电粒子运动产生的影响，不考虑电荷间的相互影响．求：
（1）能够进入磁场区域的粒子的最大动能与最小动能的比值；
（2）要让穿过MN进入磁场的粒子都能从磁场中返回到MN，磁场区域的最小宽度；
（3）U满足什么条件，穿过MN进入磁场的粒子能重新返回进入电场？
| q | m |
（1）能够进入磁场区域的粒子的最大动能与最小动能的比值；
（2）要让穿过MN进入磁场的粒子都能从磁场中返回到MN，磁场区域的最小宽度；
（3）U满足什么条件，穿过MN进入磁场的粒子能重新返回进入电场？
分析：1、带电粒子经过电场做类平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，故在电场中运动的时间为t=
，在竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，位移为y=
t2，
当偏转位移最大y=
时，偏转电压最大U=
=100V，故最大动能为Ekmax=
mv02+
，当偏转电压为零时，电场力不做功，则最小动能为Ekmin=
mv02，代入数据计算出最大动能和最小动能，然后相比即可．
2、带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，速度越大运动轨迹的半径越大，要求的磁场宽度越宽，根据上一小题的结论可知进入磁场的最大速度的值，根据洛伦兹力提供向心力qvtB=
可以解得轨迹半径R，根据几何关系最小宽X=R+Rsin45°，代入数据化简即可．
3、粒子进入磁场时，速度方向与水平方向成θ角，速度大小为vt，它进磁场与出磁场之间的距离为l，根据几何关系l=2Rcosθ=
=2
，所有粒子的距离l是一常数，与偏转电压（θ角）无关，当粒子水平方向进入磁场时，l＞
．故在小于0V的电压范围内粒子不能都返回电场．根据几何关系y临界=l-
=0.06m，又匀加速运动的位移公式y临界=
t2，代入数据计算出最小电压U′，从而得知电压的取值范围．
| L |
| v0 |
| Uq |
| 2dm |
当偏转位移最大y=
| d |
| 2 |
| d2mv02 |
| qL2 |
| 1 |
| 2 |
| qU |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
2、带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，速度越大运动轨迹的半径越大，要求的磁场宽度越宽，根据上一小题的结论可知进入磁场的最大速度的值，根据洛伦兹力提供向心力qvtB=
| mvt2 |
| R |
3、粒子进入磁场时，速度方向与水平方向成θ角，速度大小为vt，它进磁场与出磁场之间的距离为l，根据几何关系l=2Rcosθ=
| 2mvtcosθ |
| qB |
| mv0 |
| qB |
| d |
| 2 |
| d |
| 2 |
| U′q |
| 2dm |
解答：解：（1）带电粒子经过电场做类平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，故在电场中运动的时间为t=
=2×10-6s
在竖直方向上运动的位移为y=
t2
当偏转位移最大y=
时，偏转电压最大U=
=100V
故最大动能为Ekmax=
mv02+
=
m(1010+108×100)=1010m（J）
当偏转电压为零时，电场力不做功，则最小动能为Ekmin=
mv02=
×1010m（J）
所以
=
（2）带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，速度越大运动轨迹的半径越大，要求的磁场宽度越宽，宽度最宽的粒子的运动轨迹如右图所示根据上一小题的结论可知进入磁场的最大速度vt=
v0
根据洛伦兹力提供向心力qvtB=
解得R=
=
代入数据得R=0.08
m
最小宽X=R+Rsin45°
解得X=(0.08+0.08
)m
（3）设某粒子进入磁场时，速度方向与水平方向成θ角，速度大小为vt，它进磁场与出磁场之间的距离为l，
如图，根据几何关系可得：
l=2Rcosθ=
=2
代入数据可得，l=0.16m
即所有粒子的距离l是一常数，与偏转电压（θ角）无关
当粒子水平方向进入磁场时，l＞
故在小于0V的电压范围内粒子不能都返回电场，只有向下偏转的部分粒子才能返回电场，
y临界=l-
=0.06m
又因为y临界=
t2
解得U′=60V
故范围为60V＜U≤100V．
答：（1）能够进入磁场区域的粒子的最大动能与最小动能的比值为2．
（2）要让穿过MN进入磁场的粒子都能从磁场中返回到MN，磁场区域的最小宽度为(0.08+0.08
)m．
（3）交流电压在范围为60V＜U≤100V，穿过MN进入磁场的粒子能重新返回进入电场．
| L |
| v0 |
在竖直方向上运动的位移为y=
| Uq |
| 2dm |
当偏转位移最大y=
| d |
| 2 |
| d2mv02 |
| qL2 |
故最大动能为Ekmax=
| 1 |
| 2 |
| qU |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当偏转电压为零时，电场力不做功，则最小动能为Ekmin=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以
| Ekmax |
| Ekmin |
| 2 |
| 1 |
（2）带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，速度越大运动轨迹的半径越大，要求的磁场宽度越宽，宽度最宽的粒子的运动轨迹如右图所示根据上一小题的结论可知进入磁场的最大速度vt=
| 2 |
根据洛伦兹力提供向心力qvtB=
| mvt2 |
| R |
解得R=
| mvt |
| qB |
| ||
| qB |
代入数据得R=0.08
| 2 |
最小宽X=R+Rsin45°
解得X=(0.08+0.08
| 2 |
（3）设某粒子进入磁场时，速度方向与水平方向成θ角，速度大小为vt，它进磁场与出磁场之间的距离为l，
如图，根据几何关系可得：l=2Rcosθ=
| 2mvtcosθ |
| qB |
| mv0 |
| qB |
代入数据可得，l=0.16m
即所有粒子的距离l是一常数，与偏转电压（θ角）无关
当粒子水平方向进入磁场时，l＞
| d |
| 2 |
故在小于0V的电压范围内粒子不能都返回电场，只有向下偏转的部分粒子才能返回电场，
y临界=l-
| d |
| 2 |
又因为y临界=
| U′q |
| 2dm |
解得U′=60V
故范围为60V＜U≤100V．
答：（1）能够进入磁场区域的粒子的最大动能与最小动能的比值为2．
（2）要让穿过MN进入磁场的粒子都能从磁场中返回到MN，磁场区域的最小宽度为(0.08+0.08
| 2 |
（3）交流电压在范围为60V＜U≤100V，穿过MN进入磁场的粒子能重新返回进入电场．
点评：本题关键是画出粒子进入磁场后的各种可能的运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力列式后得出半径，然后求出磁偏转的距离表达式，从而得到偏转电压的范围．
练习册系列答案
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