Question

如图1所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC长L=1m，B点距C 点的水平和竖直距离相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=

3

5

，cos37°=

4

5

）

（1）若装置匀速转动的角速度为ω₁时，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度ω2=

50 3

rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角；
（3）装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在坐标图2中画出细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系图象．（计算过程可在草稿纸上完成）

Answer 1

分析：（1）细线AB上张力恰为零时小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）ω2=

50 3

rad/s＞ω1=

50 4

rad/s时，细线AB松弛，根据小球重力和拉力的合力提供向心力求出细线AC与竖直方向的夹角．
（3）根据牛顿第二定律分别求出ω≤ω1=

5

2

2

rad/s时、ω₁≤ω≤ω₂时、ω＞ω₂时拉力的大小，从而确定细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系，并作出图象．

解答：解（1）细线AB上张力恰为零时有mgtan37°=m

ω

2 1

lsin37°
解得    ω1=

g lcos37°

=

50 4

rad/s=

5

2

2

rad/s
（2）ω2=

50 3

rad/s＞ω1=

50 4

rad/s时，细线AB应松弛mgtanθ′=m

ω

2 2

lsinθ′
解得     cosθ′=

3

5

θ'=53°此时细线AB恰好竖直，但张力为零．
（3）ω≤ω1=

5

2

2

rad/s时，细线AB水平，细线AC上张力的竖直分量等于小球的重力Tcosθ=mg
T=

mg

cosθ

=12.5N
ω₁≤ω≤ω₂时细线AB松弛
细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力Tsinθ=mω²lsinθ      T=mω²l
ω＞ω₂时，细线AB在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力
    Tsinθ=mω²lsinθ     T=mω²l
综上所述 ω≤ω1=

5

2

2

rad/s时，T=12.5N不变
ω＞ω₁时，T=mω²l=ω²（N）T-ω²关系图象如图所示．
答：（1）角速度ω₁的大小为

5 2

2

rad/s．
（2）细线AC与竖直方向的夹角为53°．
（3）细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系图象如图．

点评：解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．