题目内容

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（1）小物块A滑至圆弧轨道底端时对轨道的压力；
（2）若B与P发生碰撞时A、B恰好共速，则L、x应满足什么条件，
（3）若L=$\frac{3}{2}$R，B与P碰撞后静止，A滑离B后落到水平地面上的E点，试分析讨论x取不同值时，E点与桌面右端的水平距离 s与x有何关系？

分析 （1）A由静止滑至底端过程中，根据动能定理求出到达低端的速度，在最低点，根据向心力公式列式即可求解；
（2）B与P碰撞时，A、B恰好共速，设A的位移为xA、B的位移为xB，碰撞过程中，动量守恒，根据动量守恒定律定律列式，再分别对A和B根据动能定理列式，联立方程求解；
（3）若x≥xB，则B与P碰撞时，A、B已共速，根据动能定理列式求出A滑离B时的速度，A滑离B后做平抛运动，根据平抛运动基本公式求解，若0≤x≤xB，则B与P碰撞时，A、B还未共速，碰后A继续在B上滑行，根据动能定理求解．

解答 解：（1）A由静止滑至底端过程：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$①
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$
A在最低点时：$N-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$②
解得：N=3mg
由牛顿第三定律：A对轨道的压力大小N′=N=3mg，方向竖直向下，
（2）B与P碰撞时，A、B恰好共速，设A的位移为xA、B的位移为xB，则有
mv0=（m+M）v共③
对B：$μmg{x}_{B}=\frac{1}{2}M{{v}_{共}}^{2}$④
对A：$-μmg{x}_{A}=\frac{1}{2}M{v}_{共}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$⑤
联立①③④⑤解得：${x}_{A}=\frac{16}{9}R$，${x}_{B}=\frac{4}{9}R$
所以有：$x={x}_{B}=\frac{4}{9}R$，$L≥{x}_{A}-{x}_{B}=\frac{4}{3}R$
（3）由于$L=\frac{3R}{2}＞\frac{4}{3}R$，故B与P碰撞前，A不会滑离B．
（i）若x≥xB，则B与P碰撞时，A、B已共速，设A滑离B时的速度为vA，则碰后至A滑离B的过程有：$-μmg（\frac{3}{2}R-\frac{4}{3}R）=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{共}}^{2}$⑥
联立①③⑥解得：${v}_{A}=\frac{\sqrt{2gR}}{6}$⑦
A滑离B后做平抛运动，则有：$R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$⑧
s=vAt⑨
联立⑦⑧⑨解得：$s=\frac{1}{3}R$
（ii）若0≤x≤xB，则B与P碰撞时，A、B还未共速，碰后A继续在B上滑行，A滑离B时的速度为vA，则有：$-μmg（\frac{3}{2}R+x）=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$⑩
解得：${v}_{A}=\sqrt{\frac{1}{2}g（R-2x）}$＞0，说明A能滑离B．
联立解得：$s=\sqrt{{R}^{2}-2Rx}$
答：（1）小物块A滑至圆弧轨道底端时对轨道的压力为3mg，方向竖直向下；
（2）若B与P发生碰撞时A、B恰好共速，则L、x应满足$x=\frac{4}{9}R$，$L≥\frac{4}{3}R$，
（3）若x≥xB，$s=\frac{1}{3}R$；若0≤x≤xB，$s=\sqrt{{R}^{2}-2Rx}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律、动能定理、平抛运动基本公式以及向心力公式的直接应用，关键是分析清楚物体的受力情况和运动情况，能选择合适的定理求解，知道A滑离B后做平抛运动，能分情况进行讨论，难度适中．

练习册系列答案
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