题目内容

9．一个轻质弹簧的劲度系数为k，一端固定，另一端在力的作用下发生的形变量为x，已知克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能的增加量．（以上过程均在弹簧的弹性限度内）
（1）证明弹簧发生的形变量为x时，其具有的弹性势能为Er=$\frac{1}{2}$kx2．
（2）若将弹簧竖直放置且下端固定在地面上，现有一个质量为m的小球从距弹簧上端h处由静止开始下落，并压缩弹簧，求小球在压缩弹簧过程中的最大速度vn．
（3）在第（2）问中，竖直弹簧的上端固定一个质量为M的木板并处于静止，将质量为m的小球从距弹簧上端h=0.8m处由静止开始下落，并与木板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且M=3m，g=10m/s2．求小球弹起的高度H．
（4）在第（3）问中个，若m、k均未知，且小球和木板在第一次碰撞后又在同一位置发生第二次迎面的碰撞，此后的每次碰撞均在该位置，以竖直向下为正方向，试在图示的坐标系中作出小球从释放开始到第三次碰撞的v-t图象．（标出刻度值）

分析 （1）作出弹力与形变量之间的关系图象，则图象与坐标轴围城的面积表示弹力的负功，根据克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能的增加量得到弹簧发生的形变量为x时，其具有的弹性势能；
（2）当加速度为零时，速度最大，据小球与弹簧构成的系统机械能守恒得到小球在压缩弹簧过程中的最大速度的表达式；
（3）弹性碰撞动量守恒、机械能守恒，可得碰撞后的小秋的速度，由匀变速运动的规律可得小球弹起的高度H；
（4）由运动学规律可求得两球碰撞所用时间，再由动量守恒和机械能守恒可求得碰后的速度，根据时间和速度可作出对应的v-t图象．

解答 解：（1）弹簧的弹力F与形变量x的关系如图所示；
将弹簧的形变量x分割为无数小段，每段可看成恒力做功，则有：
Wi=Fi△xi
将所有的功相加可得：
W=$\sum_{\;}^{\;}{F}_{i}△{x}_{i}$
由图可知，W为F-x图象和横坐轴所围成的面积大小；
故W=$\frac{1}{2}$Fx=$\frac{1}{2}kx$•x=$\frac{1}{2}$kx2；
故EP=$\frac{1}{2}$kx2；
（2）小球运动到平衡位置时速度最大，则有：
mg=kx
由能量守恒可得：
mg（h+x）=$\frac{1}{2}$kx2+$\frac{1}{2}$mvm2
联立解得：vm=$\sqrt{2g（h+\frac{mg}{2k}）}$
（3）小球与木板相碰撞前速度为v0=$\sqrt{2gh}$=4m/s；
小球与木板发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和能量守恒可得：
mv0=mv1+Mv2；
$\frac{1}{2}$mv02=$\frac{1}{2}$mv12+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
联立解得：v1=-$\frac{1}{2}$v0=-2m/s；
v2=$\frac{1}{2}$v0=2m/s；
小球上升的高度H=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{4}{20}$=0.2m；
（4）小球从释放到第一次碰撞的时间t1=$\frac{{v}_{0}}{g}$=$\frac{4}{10}$=0.4s；
小球从第一次碰撞到第二次碰撞的时间t2=$\frac{-2{v}_{1}}{g}$=$\frac{-4}{10}$=0.4s；
设第二次碰撞后小球和板后速度分别为v′1、v′2；则有：
m（-v1）+M（-v2）=mv′1+Mv′2
$\frac{1}{2}$mv12+$\frac{1}{2}$Mv22=$\frac{1}{2}$mv′12+$\frac{1}{2}$Mv′22
联立解得v1′=-v0=-4m/s；v′2=0
故第二次碰撞到第三次碰撞的时间t3=2t1=0.8s
对应的图象如图所示；
答：（1）证明如上；
（2）小球在压缩弹簧过程中的最大速度为$\sqrt{2g（h+\frac{mg}{2k}）}$
（3）小球弹起的高度H为0.2m；
（4）如右图所示．

点评 本题综合考查了动量守恒、功能关系以及弹性势能等，要注意认真审题，明确题意并掌握相应的物理过程，从而确定物理规律的正确应用；本题难度较大，对学生综合能车要求较高．

练习册系列答案
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14．有一根中空的金属线样品，截面外部为正方形，内部为圆形，如图1所示．此金属线长约为25cm，电阻约为20Ω．已知这种金属的电阻率为ρ，因管线内径太小，无法直接测量，请根据下列提供的实验器材，设计一个实验方案测量其内径d．
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