Question

如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC长L=1m，B点距转轴的水平距离和距C点竖直距离相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）若装置匀速转动的角速度为ω₁时，细线AB上的张力为0而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度为ω₂时，细线AB刚好竖直，且张力为0，求此时角速度ω₂的大小；
（3）装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在坐标图中画出细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系图象．

Answer 1

分析：（1）细线AB上张力恰为零时，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度ω₁的大小．
（2）细线AB刚好竖直，且张力为0时，由几何关系求出细线AC与竖直方向的夹角．细线AB松弛，根据小球重力和拉力的合力提供向心力求出此时角速度ω₂的大小．
（3）根据牛顿第二定律分别求出ω≤ω₁=

5

2

2

rad/s时、ω₁≤ω≤ω₂时、ω＞ω₂时拉力的大小，从而确定细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系，并作出图象．

解答：解（1）细线AB上张力恰为零时，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
   mgtan37°=m

ω

2 1

lsin37°
解得：ω1=

g lcos37°

=

50 4

rad/s=

5

2

2

rad/s
（2）细线AB恰好竖直，但张力为零时，设细线AC与竖直方向的夹角为θ′．
由几何关系得：cosθ′=

3

5

，得θ'=53°
根据牛顿第二定律得：mgtanθ′=m

ω

2 2

lsinθ′ 
解得，ω2=

50 3

rad/s
（3）当ω≤ω1=

5

2

2

rad/s时，细线AB水平，细线AC上张力的竖直分量始终等于小球的重力：Tcosθ=mg；
解得：T=

mg

cosθ

=12.5N．
ω₁≤ω≤ω₂时细线AB松弛，细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力，则有：
  Tsinα=mω²lsinα，T=mω²l
ω＞ω₂时，细线AB在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力：Tsinθ'=mω²lsinθ'T=mω²l
综上所述：ω≤ω1=

5

2

2

rad/s时，T=12.5N不变；ω＞ω₁时，T=mω²l=ω²（N），T-ω²关系图象如图所示             

答：（1）角速度ω₁的大小为

5

2

2

rad/s；（2）此时角速度ω₂的大小为

50 3

rad/s；（3）计算见上，在坐标图中画出细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系图象如图所示．

点评：解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．