Question

如图所示，水平地面上有一辆小车，车上固定一个竖直光滑绝缘管，管的底部有一质量m₁=0.2g、电荷量q=8×10^-5C的带正电小球，小球的直径比管的内径略小．在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B₁=15T的匀强磁场，MN面的上方还存在着竖直向上、场强E=25V/m的匀强电场和垂直纸面向外、磁感应强度B₂=5T的匀强磁场，现让小车始终保持v_x=2m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过磁场的边界PQ为计时的起点，测得小球在管内运动的这段时间为t=1s，g取10/s²，不计空气阻力． 
（1）求小球进入磁场B₁时的加速度a的大小．
（2）求小球离开管口时的速度v的大小．
（3）若小球离开管口后，求该小球离开MN平面的最大距离是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在水平方向上随小车做匀速直线运动，刚进入磁场时，在竖直方向上对小球受力分析，受到竖直向下的重力和竖直向上的电场力以及洛伦兹力，在竖直方向上利用牛顿第二定律可求出小球的加速度．
（2）在小球刚要离开管口时，在水平方向上合力为零，在水平方向上受管侧壁的弹力和洛伦兹力（此力是速度在竖直方向上的分量产生的）结合牛顿运动定律和运动学公式可求出绝缘管的长度．
（3）当小球离开管口进入复合场时，对其受力分析，受到重力、电场力和洛伦兹力，经计算可判断重力和电场力平衡，可知小球会在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，做出小球的运动轨迹图，利用有边界磁场的运动规律可求出小球和管口在水平方向上的位移之差．

解答：解：（1）小球在管中参与两个方向的运动，即：水平方向，以v_x向右匀速运动；
竖直方向，因水平速度而受到竖直向上的洛伦兹力，向上匀加速运动．
所以小球进入磁场B₁时的加速度a由牛顿第二定律有B₁qv_x-m₁g=m₁a，
代入数据得a=

B1qvx

m1

-g=2m/s2
（2）小球在t=1s时，竖直分速度v_y=at=2m/s，而水平分速度v_x=2m/s
则小球离开管口的速度v=

v 2 x + v 2 y

=2

2

m/s
（3）小球离开管子后，进入MN上方的复合场中，因Eq1=2×10-3N=m1g
所以小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，设v与MN成θ角
则tanθ=

vy

vx

=1，所以θ=45°
其运动的轨迹如图所示：

由B2qv=m1

v2

r

，
代入数据得：r=

m1v

qB2

=

2

m
当小球运动到最高点时，速度水平．
设最高点距MN的距离为h，由图中几何关系得：
h=r-rcos45°=

2

m-1m=0.41m
答：（1）小球进入磁场B₁时的加速度a的大小为2m/s²．
（2）小球离开管口时的速度v的大小2

2

m/s．
（3）若小球离开管口后，该小球离开MN平面的最大距离是0.41m．

点评：本题考查了带电粒子在复合场中的运动，对复合场的理解和运动过程的分析是解决此类问题的关键．第一问中实际速度斜向右上方；第二位通过弹力求解出竖直分速度，然后根据运动学公式求解；第三位关键画出运动轨迹．