Question

【题目】如图，玻璃球冠的折射率为，其底面镀银，底面的半径是球半径的倍；在过球心O且垂直于底面的平面（纸面）内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点。求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。

Answer 1

【答案】

【解析】设球半径为R，球冠底面中心为，连接，则，令

则，即

根据题意MA⊥AB

所以∠OAM=60°

设图中N点为光线在球冠内底面上的反射点，所考虑的光线的光路图如图所示，设光线在M点的入射角为i，折射角为r，在N点的入射角为，反射角为，玻璃折射率为n，由于为等边三角形，有

i=60°

根据折射定律可得

代入题给条件可得r=30°

作底面在N点的法线NE，由于NE∥AM，有=30°

根据反射定律可得=30°

连接ON，由几何关系可知，故有

故可得

于是∠ENO为反射角，ON为反射光线，这一反射光线经球面再次折射后不改变方向。所以，经一次反射后射出玻璃球冠的光线相对于入射光线的偏角β为