Question

2．如图所示，一电荷量为+q，质量为m的带电体在A点，AB为动摩擦因数为μ的粗糙平面，优弧BD是半径为R的$\frac{3}{4}$光滑圆道，系统中存在水平向右的匀强电场且Eq=$\frac{3}{4}$mg，重力加速度为g．
（1）物体可以到达C点时，AB的长度L₁；
（2）物体可以到达D点时，AB的长度L₂；
（3）在（2）的整个过程中，物体可以达到的V_max．

Answer 1

分析 （1）物体恰好通过C点时，由重力提供向心力，由向心力公式求出C点的临界速度，再由动能定理求L₁．
（2）要使物体可以到达D点时，物体必须能通过速度与电场力和重力的合力相垂直的点P，在P点处，由电场力和重力的合力提供向心力，求该点的速度，再由动能定理求解．
（3）当物体通过P点关于圆心的对称点时速度最大，由动能定理求解．

解答 解：（1）设物体刚好能到达C点时，物体在C点的速度大小是v₁；
则在C点有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
从A到C，由动能定理得：
   qEL₁-μmgL₁-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立解得 L₁=$\frac{10R}{3-4μ}$
（2）设物体在CD间的P点时速度方向与电场力和重力的合力垂直，设P点和圆心的连线与竖直方向的夹角为α．
则有 tanα=$\frac{qE}{mg}$=$\frac{3}{4}$，α=37°
在P点有 $\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
从A到P点，由动能定理得：
  qE（L₂-Rsinα）-μmgL₂-mgR（1+cosα）=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得 L₂=$\frac{4.8+\sqrt{2}}{2-2μ}$R
（3）当物体运动到P点关于圆心的对称点Q时速度最大．
从Q到P，由动能定理得：
-2mgRcosα-2qERsinα=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
解得 v_Q=$\frac{5}{2}\sqrt{gR}$
故v_max=v_Q=$\frac{5}{2}\sqrt{gR}$
答：
（1）物体可以到达C点时，AB的长度L₁是$\frac{10R}{3-4μ}$．
（2）物体可以到达D点时，AB的长度L₂是$\frac{37R}{30-40μ}$．
（3）在（2）的整个过程中，物体可以达到的v_max是$\frac{5}{2}\sqrt{gR}$．

点评 本题考查带电粒子在电场中的运动，要注意明确解决粒子的运动关键在于明确动能定理和功能关系的正确应用；只要不涉及时间问题，优先考虑功能关系进行分析．