Question

8．欧洲的“伽利略”全球卫星定位系统的空间部分由平均分布在三个轨道平面上的30颗轨道卫星构成，每个轨道平面上有10颗卫星，从而实现高精度的导航定位．现假设“伽利略”系统中每颗卫星均围绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，一个轨道平面上某时刻10颗卫星所在位置日如图所示，相邻卫星之间的距离相等，卫星1和卫星3分别位于轨道上A、B位置，卫星按顺时针方向运行，地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，不计卫星间的相互作用力，求：
（1）卫星的运行周期；
（2）卫星1由A位置运行到B位置所需要的时间．

Answer 1

分析 （1）根据地球表面重力与万有引力相等，和万有引力提供卫星圆周运动向心力求得卫星运行的周期；
（2）卫星从A到B经过$\frac{2}{10}$个周期，求得周期即可求得A到B的时间．

解答 解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，每颗卫星的运行周期为T，万有引力常量为G，由万有引力定律和牛顿定律有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$      ①
地球表面重力加速度为$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$      ②
联立①②式可得T=$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g}}$   ③
（2）卫星1由A位置运行到B位置所需要的时间为：$t=\frac{2}{10}T$     ④
联立③④式可得t=$\frac{2π}{5R}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g}}$．
答：（1）卫星的运行周期为$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g}}$；
（2）卫星1由A位置运行到B位置所需要的时间为$\frac{2π}{5R}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g}}$．

点评 该题考查万有引力定律的一般应用，写出万有引力定律提供运动的向心力的公式，和黄金代换公式即可正确解答．属于简单题